在 MATLAB 中从 4 个点计算二维齐次透视变换矩阵

Question

我得到了形成一个矩形的 4 个二维点的坐标，以及它们在应用透视变换后的坐标。

透视变换在齐次坐标系中计算并由 3x3 矩阵定义 M。如果不知道矩阵，如何从给定的点计算它？

一分的计算方式为：

| M11 M12 M13 |   | P1.x |   | w*P1'.x |
| M21 M22 M23 | * | P1.y | = | w*P1'.y |
| M31 M32 M33 |   | 1    |   | w*1     |

为了同时计算所有点，我将它们一起写在一个矩阵中 A 类似地，对于矩阵中的变换点 B：

    | P1.x P2.x P3.x P4.x |
A = | P1.y P2.y P3.y P4.y |
    | 1    1    1    1    |

所以方程是 M*A=B 并且这可以在 MATLAB 中通过 M = B/A 或 M = (A'\B')'.

求解 M

但这并不容易。我知道变换后的点坐标，但不知道具体的B，因为有因子w，齐次变换后不一定是1。因为在齐次坐标中，向量的每个倍数都是同一个点，我不知道我会得到哪个倍数。

为了考虑这些未知因素，我将等式写为 M*A=B*W 其中 W 是一个对角矩阵，对角线上 B 中的每个点都有因子 w1...w4。所以 A 和 B 现在完全已知，我必须求解 M 和 W.

的方程式

如果我可以将方程重新排列成 x*A=B 或 A*x=B 的形式，其中 x 类似于 M*W 我可以解决它并且知道 [= =31=] 可能已经足够了。然而，尽管尝试了所有可能的重新安排，但我还是没能做到。直到我意识到封装 (M*W) 是不可能的，因为一个是 3x3 矩阵，另一个是 4x4 矩阵。我卡在这里了。

另外M*A=B*W没有M的单一解，因为M的每一个倍数都是相同的变换。将其写成一个线性方程组，可以简单地修正 M 中的一个条目以获得单一解。此外，可能存在根本无法解决 M 的输入，但我们暂时不用担心。

我实际上想要实现的是某种矢量图形编辑程序，用户可以在其中拖动形状边界框的角来对其进行变换，同时在内部计算变换矩阵。

实际上我在 JavaScript 中需要这个，但如果我什至不能在 MATLAB 中解决这个问题，我就会完全陷入困境。

Answer 1

本来应该是个简单的问题。那么如何将 M*A=B*W 变成可求解的形式呢？它只是矩阵乘法，所以我们可以把它写成一个线性方程组。你知道像：M11*A11 + M12*A21 + M13*A31 = B11*W11 + B12*W21 + B13*W31 + B14*W41。每个线性方程组都可以写成 Ax=b 的形式，或者为了避免与我的问题中已经使用的变量混淆：N*x=y。就这些了。

根据我的问题举个例子：我生成了一些已知 M 和 W 的输入数据：

M = [
    1 2 3;
    4 5 6;
    7 8 1
];
A = [
    0 0 1 1;
    0 1 0 1;
    1 1 1 1
];
W = [
    4 0 0 0;
    0 3 0 0;
    0 0 2 0;
    0 0 0 1
];
B = M*A*(W^-1);

那我忘了M和W。这意味着我现在有 13 个变量要解决。我将 M*A=B*W 重写为线性方程组，并从那里重写为 N*x=y 的形式。在 N 中，每一列都有一个变量的因子：

N = [
    A(1,1) A(2,1) A(3,1)      0      0      0      0      0      0 -B(1,1)       0       0       0;
         0      0      0 A(1,1) A(2,1) A(3,1)      0      0      0 -B(2,1)       0       0       0;
         0      0      0      0      0      0 A(1,1) A(2,1) A(3,1) -B(3,1)       0       0       0;
    A(1,2) A(2,2) A(3,2)      0      0      0      0      0      0       0 -B(1,2)       0       0;
         0      0      0 A(1,2) A(2,2) A(3,2)      0      0      0       0 -B(2,2)       0       0;
         0      0      0      0      0      0 A(1,2) A(2,2) A(3,2)       0 -B(3,2)       0       0;
    A(1,3) A(2,3) A(3,3)      0      0      0      0      0      0       0       0 -B(1,3)       0;
         0      0      0 A(1,3) A(2,3) A(3,3)      0      0      0       0       0 -B(2,3)       0;
         0      0      0      0      0      0 A(1,3) A(2,3) A(3,3)       0       0 -B(3,3)       0;
    A(1,4) A(2,4) A(3,4)      0      0      0      0      0      0       0       0       0 -B(1,4);
         0      0      0 A(1,4) A(2,4) A(3,4)      0      0      0       0       0       0 -B(2,4);
         0      0      0      0      0      0 A(1,4) A(2,4) A(3,4)       0       0       0 -B(3,4);
         0      0      0      0      0      0      0      0      1       0       0       0       0
];

而y是：

y = [ 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1 ];

注意N最后一行描述的方程，根据y其解为1。这就是我在问题中提到的内容，您必须修复 M 的其中一个条目才能获得单一解决方案。（我们可以这样做，因为 M 的每个倍数都是相同的变换。）根据这个等式，我说 M33 应该是 1。

我们为 x 解决了这个问题：

x = N\y

并得到：

x = [ 1.00000; 2.00000; 3.00000; 4.00000; 5.00000; 6.00000; 7.00000; 8.00000; 1.00000; 4.00000; 3.00000; 2.00000; 1.00000 ]

哪些是[ M11, M12, M13, M21, M22, M23, M31, M32, M33, w1, w2, w3, w4 ]

的解决方案

W计算完M后就不需要了。对于一个通用点(x, y)，在求解x'和y'.

的同时计算对应的w

| M11 M12 M13 |   | x |   | w * x' |
| M21 M22 M23 | * | y | = | w * y' |
| M31 M32 M33 |   | 1 |   | w * 1  |

在 JavaScript 中解决这个问题时，我可以使用 Numeric JavaScript library which has the needed function solve 来解决 Ax=b。

Answer 2

OpenCV 有一个叫做 getPerspectiveTransform. The source code for this function is available on github 的简洁函数，描述如下：

/* Calculates coefficients of perspective transformation
 * which maps (xi,yi) to (ui,vi), (i=1,2,3,4):
 *
 *      c00*xi + c01*yi + c02
 * ui = ---------------------
 *      c20*xi + c21*yi + c22
 *
 *      c10*xi + c11*yi + c12
 * vi = ---------------------
 *      c20*xi + c21*yi + c22
 *
 * Coefficients are calculated by solving linear system:
 * / x0 y0  1  0  0  0 -x0*u0 -y0*u0 \ /c00\ /u0\
 * | x1 y1  1  0  0  0 -x1*u1 -y1*u1 | |c01| |u1|
 * | x2 y2  1  0  0  0 -x2*u2 -y2*u2 | |c02| |u2|
 * | x3 y3  1  0  0  0 -x3*u3 -y3*u3 |.|c10|=|u3|,
 * |  0  0  0 x0 y0  1 -x0*v0 -y0*v0 | |c11| |v0|
 * |  0  0  0 x1 y1  1 -x1*v1 -y1*v1 | |c12| |v1|
 * |  0  0  0 x2 y2  1 -x2*v2 -y2*v2 | |c20| |v2|
 * \  0  0  0 x3 y3  1 -x3*v3 -y3*v3 / \c21/ \v3/
 *
 * where:
 *   cij - matrix coefficients, c22 = 1
 */

这个方程组较小，因为它避免求解 W 和 M33（OpenCV 称为 c22）。那么它是怎样工作的？可以通过以下步骤重新创建线性系统：

从一个等式开始：

| c00 c01 c02 |   | xi |   | w*ui |
| c10 c11 c12 | * | yi | = | w*vi |
| c20 c21 c22 |   | 1  |   | w*1  |

将其转化为方程组，求解 ui 和 vi，并消去 w。你得到投影变换的公式：

     c00*xi + c01*yi + c02
ui = ---------------------
     c20*xi + c21*yi + c22

     c10*xi + c11*yi + c12
vi = ---------------------
     c20*xi + c21*yi + c22

两边都乘以分母：

(c20*xi + c21*yi + c22) * ui = c00*xi + c01*yi + c02
(c20*xi + c21*yi + c22) * vi = c10*xi + c11*yi + c12

分发 ui 和 vi:

c20*xi*ui + c21*yi*ui + c22*ui = c00*xi + c01*yi + c02
c20*xi*vi + c21*yi*vi + c22*vi = c10*xi + c11*yi + c12

假设 c22 = 1:

c20*xi*ui + c21*yi*ui + ui = c00*xi + c01*yi + c02
c20*xi*vi + c21*yi*vi + vi = c10*xi + c11*yi + c12

收集左侧所有cij：

c00*xi + c01*yi + c02 - c20*xi*ui - c21*yi*ui = ui
c10*xi + c11*yi + c12 - c20*xi*vi - c21*yi*vi = vi

最后将四对点转换为矩阵形式：

/ x0 y0  1  0  0  0 -x0*u0 -y0*u0 \ /c00\ /u0\
| x1 y1  1  0  0  0 -x1*u1 -y1*u1 | |c01| |u1|
| x2 y2  1  0  0  0 -x2*u2 -y2*u2 | |c02| |u2|
| x3 y3  1  0  0  0 -x3*u3 -y3*u3 |.|c10|=|u3|
|  0  0  0 x0 y0  1 -x0*v0 -y0*v0 | |c11| |v0|
|  0  0  0 x1 y1  1 -x1*v1 -y1*v1 | |c12| |v1|
|  0  0  0 x2 y2  1 -x2*v2 -y2*v2 | |c20| |v2|
\  0  0  0 x3 y3  1 -x3*v3 -y3*v3 / \c21/ \v3/

现在是Ax=b的形式，可以用x = A\b得到解。请记住 c22 = 1.

在 MATLAB 中从 4 个点计算二维齐次透视变换矩阵

Calculate a 2D homogeneous perspective transformation matrix from 4 points in MATLAB

matlab

transform

matrix

linear-algebra