行列式显示无穷大而不是零！为什么？

Question

这是我为作业中遇到的问题编写的 matlab 代码。根据所有同学的代码（不同的代码），将 A 与其转置相乘后，所得方阵的行列式应为零。为什么我的代码没有给出 c 和 d 的行列式为无穷大

A = rand(500,1500);

b = rand(500,1);

c = (A.')*A;

detc = det(c);

cinv = inv((A.')*A);

d = A*(A.');

detd = det(d);

dinv = inv(A*(A.'));

x1 = (inv((A.')*A))*((A.')*b);

x2 = A.'*((inv(A*(A.')))*b);

Answer 1

我认为这几乎只是一个舍入问题，Inf 并不意味着您得到无穷大作为答案，只是您的行列式确实很大并且超过了 realmax。正如阿迪尔所说，A*A。生成一个对称矩阵，并且它的行列式应该有一个数值。例如，设置：

A=rand(5,15)

你应该会发现 A*A 的数据。'只是一个数值。

所以你的朋友是怎么得到零的，好吧，对于 det 的大矩阵很容易得到 0 或 inf（你为什么首先要这样做我不知道）。所以我认为他们只是遇到了 same/similar 舍入问题。

Answer 2

好的。所以 det(A'*A) 不为零的事实并不能很好地表明 A'*A 的（非）奇异性。行列式取决于缩放比例，显然非奇异矩阵可以有非常小的行列式。例如，矩阵 1/2 * I_n 其中 I_n 是 nxn 恒等式，其行列式为 (1/2)^n，随着 n 趋于无穷大，它会（快速）收敛到 0。但是 1/2 * I_n 根本不是单数。

因此，检查矩阵奇异性的最佳方法是条件数。

在你的情况下，在做了一些测试后

>> A = rand(500, 1500) ;

>> det(A'*A)

ans =

   Inf

您可以看到（计算出的）行列式显然不为零。但这实际上并不奇怪，也不应该真正打扰您。行列式很难计算，所以是的，它只是舍入误差。如果你想要一个更好的近似值，你可以这样做

>> s = eig(A'*A) ;
>> prod(s)

ans =

     0

在那里，你看到它更接近于零。

另一方面，条件数是矩阵（非）奇异性的更好估计。在这里，是

>> cond(A'*A)

ans =

   1.4853e+20

而且，由于它比 1e+16 大得多，所以矩阵显然是奇异的。 1e+16的原因有点繁琐，但主要是计算机在做浮点运算时的精度问题。

Answer 3

此行为在 Limitations section of the det's documentation and exemplified in the Find Determinant of Singular Matrix subsection 中有说明：

The determinant of A is quite large despite the fact that A is singular. In fact, the determinant of A should be exactly zero! The inaccuracy of d is due to an aggregation of round-off errors in the MATLAB® implementation of the LU decomposition, which det uses to calculate the determinant.

就是说，在这种情况下，您可以通过使用同一页面上给出的 m-code implementation 但对 [=18 的对角线元素进行排序来产生您想要的结果=] 在一个上升的问题上。考虑示例脚本：

clc();
clear();

A = rand(500,1500);
b = rand(500,1);
c = (A.')*A;

[L,U] = lu(c);
% Since det(L) is always (+/-)1, it doesn't impact anything
diagU = diag(U);
detU1 = prod(diagU);
detU2 = prod(sort(diagU,'descend'));
detU3 = prod(sort(diagU,'ascend'));

fprintf('Minimum: %+9.5e\n',min(abs(diagU)));
fprintf('Maximum: %+9.5e\n',max(abs(diagU)));
fprintf('Determinant:\n');
fprintf('\tNo Sort:          %g\n'  ,detU1);
fprintf('\tDescending Sort:  %g\n'  ,detU2);
fprintf('\tAscending Sort:   %g\n\n',detU3);

这会产生输出：

Minimum: +1.53111e-13
Maximum: +1.72592e+02
Determinant:
    No Sort:          Inf
    Descending Sort:  Inf
    Ascending Sort:   0

请注意，排序的方向很重要，并且不排序会给出 Inf，因为对角线上不存在真正的 0。降序排序看到最大值首先相乘，显然，它们超过 realmax 并且永远不会乘以真正的 0，这将生成 NaN。升序排序将所有接近零的对角线值与非常少的大负值聚集在一起（事实上，更稳健的方法会根据大小排序，但这里没有这样做），它们的乘法生成一个真正的 0（意味着该值低于 IEEE-754 算术中可用的最小非规范化数字）产生 "correct" 结果。

写了这么多，正如其他人暗示的那样，我将 quote 原始 Matlab 开发人员和 Mathworks 联合创始人 Cleve Moler：

[The determinant] is useful in theoretical considerations and hand calculations, but does not provide a sound basis for robust numerical software.

行列式显示无穷大而不是零！为什么？

Determinant is showing infinity instead of zero! Why?

math

matlab

matrix

determinants