在 Python 中递归求解数学方程

Question

我想解一个应该递归解的方程，我上传了公式的图片（抱歉！我不知道怎么写数学公式！）我在 Python 中写了如下代码：

import math
alambda = 1.0
rho = 0.8
c = 1.0
b = rho * c / alambda
P0 = (1 - (alambda*b))
P1 = (1-(alambda*b))*(math.exp(alambda*b) - 1)

def a(n):
    a_n = math.exp(-alambda*b) * ((alambda*b)**n) / math.factorial(n)
    return a_n

def P(n):
    P(n) = (P0+P1)*a(n) + sigma(n)

def sigma(n):
    j = 2
    result = 0
    while j <= n+1:
        result = result + P(j)*a(n+1-j)
        j += 1
    return result

很明显我无法完成P功能。所以请帮我解决这个问题。当 n=1 我应该提取 P2，当 n=2 我应该提取 P3。顺便说一句，P0和P1如第6行和第7行所写。当我调用 P(5) 时，我想在输出中看到 P(0)、P(1)、P(2)、P(3)、P(4)、P(5)、P(6)。

Answer 1

你可以这样解决：

import math
alambda = 1.0
rho = 0.8
c = 1.0
b = rho * c / alambda


def a(n):
  # you might want to cache a as well
  a_n = math.exp(-alambda*b) * ((alambda*b)**n) / math.factorial(n)
  return a_n


PCache={0:(1 - (alambda*b)),1:(1-(alambda*b))*(math.exp(alambda*b) - 1)}

def P(n):
 if n in PCache:
   return PCache[n]
 ret= (P(0)+P(1))*a(n) + sigma(n)
 PCache[n]=ret
 return ret

def sigma(n):
  # caching this seems smart as well
  j = 2
  result = 0
  while j <= n+1:
    result = result + P(j)*a(n+1-j)
    j += 1
  return result

void displayP(n):
  P(n) # fill cache :-)
  for x in range(n):
    print ("%u -> %d\n" % (x,PCache[x]))

您可能想要使用 memoize 装饰器（参见 http://www.python-course.eu/python3_memoization.php ）

，而不是手动管理缓存

备注：

未经测试，但您应该了解其背后的想法
你的递归不起作用 P(n) 取决于 P(n+1) 在你的等式上...这永远不会结束
看来我误解了 P0 和 P1 既是常量（大数字）又是结果（小数字，索引）...我猜符号不是最佳选择...

Answer 2

您需要重新组织公式，这样您就不必计算 P(3) 来计算 P(2)。这很容易做到，只需将求和的最后一项 P(n+1)a(0) 带到等式的左侧并除以 a(0)。然后你有一个根据 P(m) 的 P(n+1) 的公式，其中 m <= n，可以通过递归求解。

正如 Bruce 提到的，最好通过将 P(n) 的中间结果保存在字典中来缓存它们，这样 a) 您不必在每次需要时都重新计算 P(2) 等，并且 b ) 在你得到 P(n) 的值之后，你可以打印字典来查看 P(m) 的所有值，其中 m <= n.

import math
a_lambda = 1.0
rho = 0.8
c = 1.0
b = rho * c / a_lambda
p0 = (1 - (a_lambda*b))
p1 = (1-(a_lambda*b))*(math.exp(a_lambda*b) - 1)
p_dict = {0: p0, 1: p1}

def a(n):
    return math.exp(-a_lambda*b) * ((a_lambda*b)**n) / math.factorial(n)

def get_nth_p(n, p_dict):
    # return pre-calculated value if p(n) is already known
    if n in p_dict:
        return p_dict[n]

    # Calculate p(n) using modified formula
    p_n = ((get_nth_p(n-1, p_dict)
            - (get_nth_p(0, p_dict) + get_nth_p(1, p_dict)) * a(n - 1)
            - sum(get_nth_p(j, p_dict) * a(n + 1 - j) for j in xrange(2, n)))
          / a(0))

    # Save computed value into the dict
    p_dict[n] = p_n
    return p_n

get_nth_p(6, p_dict)
print p_dict

编辑 2

代码的一些外观更新 - 缩短名称并使 p_dict 成为 mutable default argument（我尽量少用）确实使代码更具可读性：

import math

# Customary to distinguish variables that are unchanging by making them ALLCAP
A_LAMBDA = 1.0
RHO = 0.8
C = 1.0
B = RHO * C / A_LAMBDA
P0 = (1 - (A_LAMBDA*B))
P1 = (1-(A_LAMBDA*B))*(math.exp(A_LAMBDA*B) - 1)

p_value_cache = {0: P0, 1: P1}

def a(n):
    return math.exp(-A_LAMBDA*B) * ((A_LAMBDA*B)**n) / math.factorial(n)

def p(n, p_dict=p_value_cache):
    # return pre-calculated value if p(n) is already known
    if n in p_dict:
        return p_dict[n]

    # Calculate p(n) using modified formula
    p_n = ((p(n-1)
            - (p(0) + p(1)) * a(n - 1)
            - sum(p(j) * a(n + 1 - j) for j in xrange(2, n)))
          / a(0))

    # Save computed value into the dict
    p_dict[n] = p_n
    return p_n

p(6)
print p_value_cache

在 Python 中递归求解数学方程

Solving a mathematical equation recursively in Python

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