scipy.integrate.trapz 和不连续函数

Question

函数 scipy.integrate.trapz 使用 1 阶 Newton-Cotes 公式，如 scipy 文档中所述。但是，在这个公式的推导中，通常假设

但是，我尝试通过调用

来近似由 f(x) = 0 if x < 1 else 2 定义的函数 f:[0,2] --> [0,2] 的积分

scipy.integrate.trapz([0, 0, 2, 2], [0, 1, 1, 2])

并获得了正确的结果 (2.0)。在上层调用中，

Can this "hack" be safely used in the way presented in the example?

(对于每个不连续点x，在点列表中插入两次x，并将被积函数的左右极限插入值列表中的相应位置。 )

Answer 1

在 trapz 中重复 x 值的效果与在该值处拆分积分区间，并将 trapz 分别应用于每个部分的效果相同：

from scipy.integrate import trapz
trapz([0, 0, 2, 2], [0, 1, 1, 2])
trapz([0, 0], [0, 1]) + trapz([2, 2], [1, 2])

两个结果是一样的。事实上，整合像你这样的分段函数的最好方法是在不连续处分割积分区间，因为这样你就整合了两个连续函数。你的做法是正确的。

从某种意义上说，您的 "hack" 不是必需的。梯形法则收敛到任何黎曼可积函数的正确积分值，涵盖所有分段连续函数等。一本教科书只给出连续函数的证明是教科书作者的选择，希望有一个更简单的证明。可以证明一个更一般的定理。

也就是说，对于实践中出现的任何函数，梯形法则的输出将接近其积分，前提是 x 值形成积分区间的足够精细的划分。例如，如果您采用足够多的点，均匀间隔的点将始终有效。

然而，在实践中人们关心收敛速度，当函数具有不连续性时收敛速度明显变差。从这个实际的角度来看，包括每个不连续点两次，以 y 值作为左右限制，对梯形规则的准确性有显着提高。

scipy.integrate.trapz and discontinuous functions