基于反三角函数的成本函数

Question

我有两个点，分别命名为 source 和 target。我知道源的坐标（例如 [-1 1]），问题是确定目标的位置（例如 [1 -1]）。

我有一些测量值，其中之一是从目标指向源的箭头角度（即 135 deg）。

为了找到目标的位置，我定义了一个误差函数来最小化；我正在使用梯度下降算法，所以我有一个符号误差函数，例如；

syms xs ys xt yt
z(xs,ys,xt,yt) = theta - asin((ys - yt)/((xs - xt)^2 + (ys - yt)^2)^.5);

其中theta为测量角度，135 deg（对于理想解z，误差为零，135 - 135 = 0）

还有其他测量值，我计算了这些误差函数的雅可比行列式并将误差最小化。

无论如何，问题在于此示例中的 theta 是 135 deg，但据我们所知，asin 的输出是 [-90 90]，对于此示例，它是asin(1/2^.5) = 45 deg。所以对于正确的答案，我的错误函数 z 不会为零，我需要更改我的错误函数，我应该使用什么？

我只需要一个误差函数，让我的 theta 在 [0 360] 范围内变化，而 asin 和 atan 的范围是 [-90 90]，我可以由于符号函数，不要使用 if 语句。

Answer 1

Matlab 定义 sym/atan2(Y,X)

如果没有，您可以使用

创建它

function [ theta ] = atan2( dy,dx )
%ATAN2 Four Quadrant Arc Tangent Function
%
    if dx>0
        theta = atan(dy/dx);
    elseif dx<0
        theta = atan(dy/dx)+sign(dy)*pi;
    else
        theta = sign(dy)*pi/2;
    end

end

终于可以像

一样使用它了

z = theta - atan2(ys - yt, xs - xt);

正如@LuisMendo 指出的那样。

更新 Wikipedia 提到

atan2(y,x) = 2*atan(y/(sqrt(x^2+y^2)+x));

Answer 2

令phi表示箭头从源到目标的角度。您需要一个非负且单峰的误差函数，仅 theta==phi 的值为零。

函数满足此条件

z = (cos(theta) - cos(phi))^2 + (sin(theta) - sin(phi))^2;

或等效地，使用 xs、ys、xt、yt 而不是 phi、

z = (cos(theta) - (xs-xt)/((xs - xt)^2 + (ys - yt)^2)^.5)^2 + ...
    (sin(theta) - (ys-yt)/((xs - xt)^2 + (ys - yt)^2)^.5)^2;

这个误差函数有以下解释：如果角度theta和phi表示为单位圆中的点，z就是的平方长度连接这两点的和弦。

当然，可以通过简单地将 sqrt 应用于上面的表达式来根据长度（而不是平方长度）来定义误差；并且可以通过除以 2 在 0 和 1 之间归一化。

基于反三角函数的成本函数

Cost function based on inverse trigonometric functions

math

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