坚持实施简单的神经网络

Question

我的头一直撞在这堵砖墙上似乎有永恒的时间，但我似乎无法绕过它。我正在尝试仅使用 numpy 和矩阵乘法来实现自动编码器。不允许使用 theano 或 keras 技巧。

我将描述问题及其所有细节。一开始有点复杂，因为有很多变量，但它真的很简单。

我们所知道的

1) X 是一个 m 乘以 n 的矩阵，它是我们的输入。输入是该矩阵的行。每个输入都是一个 n 维行向量，我们有 m 个。

2)我们（单个）隐藏层中的神经元数量，即k。

3）我们神经元的激活函数（sigmoid，记为g(x)）及其导数g'(x)

我们不知道又想找的东西

总的来说，我们的目标是找到 6 个矩阵：w1 即 n 乘以 k，b1 即 m 乘以 k, w2 是 k 乘以 n, b2 是 m 乘以 n, w3 是 n 乘以 n 和 b3 即 m by n.

它们是随机初始化的，我们使用梯度下降找到最佳解决方案。

过程

整个过程看起来像这样

首先我们计算z1 = Xw1+b1。它是 m by k 并且是我们隐藏层的输入。然后我们计算 h1 = g(z1)，这只是将 sigmoid 函数应用于 z1 的所有元素。当然它也是 m by k 并且是我们隐藏层的输出。

然后我们计算 z2 = h1w2+b2 是 m 乘以 n 并且是我们神经网络输出层的输入。然后我们计算 h2 = g(z2) 自然也是 m by n 并且是我们神经网络的输出。

最后，我们获取此输出并对其执行一些线性运算符：Xhat = h2w3+b3 也是 m by n，这是我们的最终结果。

我卡在哪里

我要最小化的成本函数是均方误差。我已经在 numpy 代码中实现了它

def cost(x, xhat):
    return (1.0/(2 * m)) * np.trace(np.dot(x-xhat,(x-xhat).T))

问题是找到成本关于 w1,b1,w2,b2,w3,b3 的导数。我们称成本为 S.

推导自己并用数字检查自己后，我确定了以下事实：

1) dSdxhat = (1/m) * np.dot(xhat-x)

2) dSdw3 = np.dot(h2.T,dSdxhat)

3) dSdb3 = dSdxhat

4) dSdh2 = np.dot(dSdxhat, w3.T)

但我一辈子都搞不懂 dSdz2。这是一堵砖墙。

从链式规则来看，dSdz2 = dSdh2 * dh2dz2 但尺寸不匹配。

计算 S 关于 z2 的导数的公式是什么？

编辑 - 这是我对自动编码器的整个前馈操作的代码。

import numpy as np

def g(x): #sigmoid activation functions
    return 1/(1+np.exp(-x)) #same shape as x!

def gGradient(x): #gradient of sigmoid
    return g(x)*(1-g(x)) #same shape as x!

def cost(x, xhat): #mean squared error between x the data and xhat the output of the machine
    return (1.0/(2 * m)) * np.trace(np.dot(x-xhat,(x-xhat).T))

#Just small random numbers so we can test that it's working small scale
m = 5 #num of examples
n = 2 #num of features in each example
k = 2 #num of neurons in the hidden layer of the autoencoder
x = np.random.rand(m, n) #the data, shape (m, n)

w1 = np.random.rand(n, k) #weights from input layer to hidden layer, shape (n, k)
b1 = np.random.rand(m, k) #bias term from input layer to hidden layer (m, k)
z1 = np.dot(x,w1)+b1 #output of the input layer, shape (m, k)
h1 = g(z1) #input of hidden layer, shape (m, k)

w2 = np.random.rand(k, n) #weights from hidden layer to output layer of the autoencoder, shape (k, n)
b2 = np.random.rand(m, n) #bias term from hidden layer to output layer of autoencoder, shape (m, n)
z2 = np.dot(h1, w2)+b2 #output of the hidden layer, shape (m, n)
h2 = g(z2) #Output of the entire autoencoder. The output layer of the autoencoder. shape (m, n)

w3 = np.random.rand(n, n) #weights from output layer of autoencoder to entire output of the machine, shape (n, n)
b3 = np.random.rand(m, n) #bias term from output layer of autoencoder to entire output of the machine, shape (m, n)
xhat = np.dot(h2, w3)+b3 #the output of the machine, which hopefully resembles the original data x, shape (m, n)

Answer 1

好的，这是一个建议。在矢量的情况下，如果您将 x 作为长度为 n 的矢量，那么 g(x) 也是长度为 n 的矢量。但是，g'(x) 不是向量，它是 Jacobian matrix，大小为 n X n。类似地，在小批量情况下，X 是大小为 m X n 的矩阵，g(X) 是 m X n 但 g'(X) 是 n X n。尝试：

def gGradient(x): #gradient of sigmoid
    return np.dot(g(x).T, 1 - g(x))

@Paul 是正确的，偏差项应该是向量，而不是矩阵。你应该有：

b1 = np.random.rand(k) #bias term from input layer to hidden layer (k,)
b2 = np.random.rand(n) #bias term from hidden layer to output layer of autoencoder, shape (n,)
b3 = np.random.rand(n) #bias term from output layer of autoencoder to entire output of the machine, shape (n,)

Numpy 的广播意味着您不必更改 xhat 的计算。

然后（我认为！）你可以像这样计算导数：

dSdxhat = (1/float(m)) * (xhat-x)
dSdw3 = np.dot(h2.T,dSdxhat)
dSdb3 = dSdxhat.mean(axis=0)
dSdh2 = np.dot(dSdxhat, w3.T)
dSdz2 = np.dot(dSdh2, gGradient(z2))
dSdb2 = dSdz2.mean(axis=0)
dSdw2 = np.dot(h1.T,dSdz2)
dSdh1 = np.dot(dSdz2, w2.T)
dSdz1 = np.dot(dSdh1, gGradient(z1))
dSdb1 = dSdz1.mean(axis=0)
dSdw1 = np.dot(x.T,dSdz1)

这对你有用吗？

编辑

我决定我完全不确定 gGradient 应该是一个矩阵。怎么样：

dSdxhat = (xhat-x) / m
dSdw3 = np.dot(h2.T,dSdxhat)
dSdb3 = dSdxhat.sum(axis=0)
dSdh2 = np.dot(dSdxhat, w3.T)
dSdz2 = h2 * (1-h2) * dSdh2
dSdb2 = dSdz2.sum(axis=0)
dSdw2 = np.dot(h1.T,dSdz2)
dSdh1 = np.dot(dSdz2, w2.T)
dSdz1 = h1 * (1-h1) * dSdh1
dSdb1 = dSdz1.sum(axis=0)
dSdw1 = np.dot(x.T,dSdz1)

坚持实施简单的神经网络

Stuck implementing simple neural network

python

algorithm

numpy

matrix

derivative