计算范围 [L,R] 中可被范围 [1,N] 中的至少一个质数整除的数字的高效算法

Question

给定 N、L 和 R，我必须找出范围 [L,R] 中至少可被范围 [1,N] 中的一个质数整除的数字的个数。

约束条件：

1<=N<=50
1<=L,R<=10^18

示例：

N=5
L=1
R=10

答案 = 8

解释：

[1,5] 范围内的素数是 {2,3,5}。 [1,10] 范围内至少可被 {2,3,5} 中的一个素数整除的数是 {2,3,4,5,6,8,9,10}.

我在 Python 中的代码给出了 "Time Limit Exceeded" 错误，因为约束太高了！

我的代码：

import math
def primes_till_n(n):
    sieve=[True]*n
    for i in xrange(3,int(n**0.5)+1,2):
        if sieve[i]:
            sieve[i*i::2*i]=[False]*((n-i*i-1)/(2*i)+1)
    return [2]+[i for i in xrange(3,n,2) if sieve[i]]

n,l,r=map(int,raw_input().split())
primes=primes_till_n(n+1)
ct=0
for i in xrange(l,r+1):
    for j in primes:
        if i%j==0:
            ct+=1
            break
print ct

此问题来自 Globalsoft hiring challenge，Hackerearth，挑战现已结束，未提供社论！

Answer 1

令素数数组包含小于 50 的素数。素数数组的大小将为 15。您可以计算区间 [L,R] 中有多少数可以被复杂度为 O(1) 的数整除（calculateInterval 函数在下面的代码中）。所以你应该对每个必要的素数做同样的事情。但是您应该执行包含排除以获得正确的结果。复杂度为 O(2^P)。 P 是不大于 N 的素数个数。2^P 最大为 2^15。

    N, L, R, = map(int,raw_input().split())

    def calculateInterval(begin,end,number):
        return (end/number) - ((begin-1)/number)

    primes = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47]

    end = 0
    while end < 15:
        if primes[end] > N:
            break
        end += 1

    res = 0
    i = 1
    while i < (1<<end):

        cnt = 0
        num = 1

        for j in xrange(end):
            if (1<<j) & i:
                cnt += 1
                num *= primes[j]

        if cnt%2 == 1:
            res += calculateInterval(L,R,num)
        else:
            res -= calculateInterval(L,R,num)

        i += 1

    print res

计算范围 [L,R] 中可被范围 [1,N] 中的至少一个质数整除的数字的高效算法

Efficient algorithm to count the numbers in range [L,R] that are divisible by at least one prime number in range [1,N]

python

algorithm

math

primes

range