我们如何在完全图中找到最大生成树
How can we find maximum spanning tree in complete graph
给定一个 n 个正整数数组，考虑到边 (i, j) = gcd(a[i], a[j]) 的权重，我们如何找到完整图中的最大生成树？
我知道一个复杂的解决方案 O(n^2)，但是 n<=10^5，所以我需要更快的东西。
更新：
如评论中所述：
The question here is getting an algorithm that exploits the special
structure of the graph.
根据其他约束，您可以使用 Kruskal 算法的变体。对于每个输入数字，将其因式分解并将其与其除数相关联，例如，given
[ 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 12]
我们建了一张地图
{ 1: [ 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 12],
2: [ 2, 4, 8, 10, 12],
3: [ 3, 9, 12],
4: [ 4, 8, 12],
5: [ 5, 10],
6: [12],
8: [ 8],
9: [ 9],
10: [10],
12: [12]}.
按键降序迭代此映射。对于每个列表，合并那些不相交的集合。
您可以这样做：
- 首先构建图表。
- 将权重最小的 egdes 存储在 minHeap 上
- 一条一条地去除图中的最小边（注意不要断开图）
- 在每一步，检查图是否是树
最后一步比较棘手。一旦你知道一棵树有 (n-1) 条边，你就不需要总是 运行 所有的图。
给定一个 n 个正整数数组，考虑到边 (i, j) = gcd(a[i], a[j]) 的权重，我们如何找到完整图中的最大生成树？
我知道一个复杂的解决方案 O(n^2)，但是 n<=10^5，所以我需要更快的东西。
更新：
如评论中所述：
The question here is getting an algorithm that exploits the special structure of the graph.
根据其他约束，您可以使用 Kruskal 算法的变体。对于每个输入数字，将其因式分解并将其与其除数相关联，例如，given
[ 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 12]
我们建了一张地图
{ 1: [ 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 12],
2: [ 2, 4, 8, 10, 12],
3: [ 3, 9, 12],
4: [ 4, 8, 12],
5: [ 5, 10],
6: [12],
8: [ 8],
9: [ 9],
10: [10],
12: [12]}.
按键降序迭代此映射。对于每个列表，合并那些不相交的集合。
您可以这样做：
- 首先构建图表。
- 将权重最小的 egdes 存储在 minHeap 上
- 一条一条地去除图中的最小边（注意不要断开图）
- 在每一步，检查图是否是树
最后一步比较棘手。一旦你知道一棵树有 (n-1) 条边，你就不需要总是 运行 所有的图。