计算 1 - 小参数 x (~10^-12) 的 sqrt(x) 类似于 expm1（在 C/C++ 中）
Computing 1 - sqrt(x) for small argument x (~10^-12) similar to expm1 (in C/C++)
我 read expm1 函数适用于计算小 x 的 1 - exp(x)，不会因截断 1.0 ~15 位数字（双精度）而失去精度。 1 - sqrt(x) 有这样的函数吗？目前我只是使用非常大的泰勒展开，因为我需要尽可能多的（最好是所有）精度数字 doubles/long 双打可以提供。
编辑：我在这里严重混淆了我的意图：我正在寻找计算 1 - sqrt(1-x) for x 在 10^-12 和 1 之间的任何地方。
the expm1 function is suited for computing 1 - exp(x).
可以在 ref 中阅读：
For small magnitude values of x, expm1 may be more accurate than exp(x)-1.
Is there such a function for 1 - sqrt(x)?
没有，至少在标准中没有headers。
这里的问题似乎动机不纯。当 x 变为 0 时 exp(x) 收敛到 1，这意味着给定相同的浮点精度，对于小 x，exp(x)-1 比 exp(x) 具有更多有效数字，但对于 sqrt(x) 则不然，当 x 变为 0 时收敛到 0。换句话说，对于小的 x，exp(x)-1 可以比 exp(x) 精确一点，但对于 1-sqrt(x) 则不是这样——这实际上会变得更糟，因为您将它从接近 0 (1e-6) 的值带到接近 1 (0.999999) 的值。
另一方面，如果您想为非常小的 x 计算 sqrt(1+x)（作为非常接近 x=1 的 sqrt(x) 的精确测量），sqrt(1+x)-1将是更准确的浮点计算。它的泰勒级数会很好地工作；我发现 |x| < 1e-9, x/2 - x^2/8 + x^3/16 是 sqrt(1+x)-1 在 3e-29 的 RMS 小数误差范围内的良好近似值（最大值为8e-29 在边缘）——双精度数的两倍。即使是二次近似也可能足够好（精度大约为 20 位数）
我 read expm1 函数适用于计算小 x 的 1 - exp(x)，不会因截断 1.0 ~15 位数字（双精度）而失去精度。 1 - sqrt(x) 有这样的函数吗？目前我只是使用非常大的泰勒展开，因为我需要尽可能多的（最好是所有）精度数字 doubles/long 双打可以提供。
编辑：我在这里严重混淆了我的意图：我正在寻找计算 1 - sqrt(1-x) for x 在 10^-12 和 1 之间的任何地方。
the
expm1function is suited for computing 1 - exp(x).
可以在 ref 中阅读：
For small magnitude values of x,
expm1may be more accurate thanexp(x)-1.
Is there such a function for 1 - sqrt(x)?
没有，至少在标准中没有headers。
这里的问题似乎动机不纯。当 x 变为 0 时 exp(x) 收敛到 1，这意味着给定相同的浮点精度，对于小 x，exp(x)-1 比 exp(x) 具有更多有效数字，但对于 sqrt(x) 则不然，当 x 变为 0 时收敛到 0。换句话说，对于小的 x，exp(x)-1 可以比 exp(x) 精确一点，但对于 1-sqrt(x) 则不是这样——这实际上会变得更糟，因为您将它从接近 0 (1e-6) 的值带到接近 1 (0.999999) 的值。
另一方面，如果您想为非常小的 x 计算 sqrt(1+x)（作为非常接近 x=1 的 sqrt(x) 的精确测量），sqrt(1+x)-1将是更准确的浮点计算。它的泰勒级数会很好地工作；我发现 |x| < 1e-9, x/2 - x^2/8 + x^3/16 是 sqrt(1+x)-1 在 3e-29 的 RMS 小数误差范围内的良好近似值（最大值为8e-29 在边缘）——双精度数的两倍。即使是二次近似也可能足够好（精度大约为 20 位数）