模棱两可的期望值

Question

我在网站上看到了这个问题（我不会使用确切的措辞或提及网站），

Suppose a kid gets his pocket money on the 15th of every month, according to which day is it on that date, Lets say he gets 1 coin on Monday, 2 coins on Tuesday...7 coins on Sunday. What is the Expected number of coins he will get on the 15th of a random month?

起初我虽然每个的概率都是1/7所以答案应该是4，但是它说错误答案。

然后想了想如何选择一个随机月份，并记得日历每 400 年重复一次，所以我想这可能与此有关，所以我写了以下代码：

int Date(int mn,int yr)
{
    if( ( yr%400==0 || (yr%100!=0 && yr%4==0) ) && mn==2)
        return 29;
    if(mn==2)
        return 28;
    if(mn==4 || mn==6 || mn==9 || mn==11)
        return 30;
    return 31;

}

int main()
{
    double coins=0;
    int wk=0;

    for(int yr=1;yr<=400;yr++)
    {
        for(int mn=1;mn<=12;mn++)
        {
            for(int dt=1;dt<=Date(mn,yr);dt++)
            {
                if(dt==15)
                    coins += wk%7 +1;
                wk++;
            }
        }
    }

    cout<<setprecision(10)<<coins/12/400;
}

输出-

4.001666667

还有宾果游戏！正确答案！但仔细想想，我意识到我选择星期一作为开始日，但它不能是任何一天吗？所以我对程序做了这个小改动 -

int main()
{
    double total=0;

    for(int i=0;i<7;i++)
    {
        int wk=i;
        double coins=0;
        for(int yr=1;yr<=400;yr++)
        {
            for(int mn=1;mn<=12;mn++)
            {
                for(int dt=1;dt<=Date(mn,yr);dt++)
                {
                    if(dt==15)
                        coins += wk%7 +1;
                    wk++;
                }
            }
        }
        cout<<setprecision(10)<<coins/12/400<<endl;
        total += coins;
    }

    cout<<endl<<setprecision(10)<<total/7/12/400;
}

输出-

4.001666667
3.998333333
4.000833333
3.998958333
4
4.001041667
3.999166667

4

Soooo...现在真的很困惑...我们应该只接受它 4.00666 因为它是 0001 年 1 月 1 日星期一，或者问题可能有任何答案或者我在这里遗漏了一些非常重要的东西？

正确答案应该是什么？
如果不存在“正确”答案，那么您认为最合适的答案是什么？

Answer 1

您的扩展结果只能用 400 年期间内各月的弱天数分布不均来解释。

这与以下事实有关：工作日以 7 为基础的周期重复，而闰年以 4 为基础的周期重复（有扩展），而且月份的长度也不相等，因此尽管日历在 400 之后重复天，您选择的开始日期可能会有一些依赖性（显然是）。

不过，我们可以更轻松地做到这一点：你有 400 年，每一年有 12 个月，我。 e. 3600个月。 3600 不能被 7 整除，所以工作日不能平均分配给月份，所以你必须根据选择的开始得到一些差异日...

现在有问题的是最外层 for 循环中的这两行：

int wk=i;
for(int yr=1;yr<=400;yr++)

您将特定年份的开始日期设置为 [0..6] 中的任意值。然而，这 7 个值中只有一个实际匹配所选年份，其他 6 个值定义了一些幻想日历（你的出生日期是固定的，找出它是哪一天 - 然后想象你将它更改为所有其他日期一周...)。

旁注：实际上，您使用公历（计算所基于的公历）是从引入公历时向后使用的，这样做，您还必须计算第 1 年的正确开始日期。碰巧它也（几乎）是星期一，所以你幸运地得到了正确的结果......

Answer 2

Soooo...now am really confused...should we just take it 4.00666 'cause it was Monday on 1st Jan 0001

是的，当然我们目前的日历系统当时还没有使用。如果您选择另一个开始日期，您将针对我们实际使用的其他日历系统进行计算。

请注意，Jan 1 1、Jan 1 401、Jan 1 801、Jan 1 1201 等都是一周中的同一天（同样在我们当前的日历系统中）。您不必专门选择第 1 年，但您必须选择您选择的 400 年期间的开始。

Answer 3

您已经完成了所有必要的思考工作，甚至更多；但你过于笼统了。

I realized that i choose Monday to be the starting day, But couldn't it be any day?

不，如果问题是在这个宇宙中设置的，则不会。

should we just take it 4.00666 'cause it was Monday on 1st Jan 0001

“1 月 1 日”并不是一个明确指定的年份，因为那时公历和儒略历都不存在。

or the question could have any answer or am I missing something very important here?

What should be the correct answer for this?

这个问题只有一个正确答案，4.001666，因为在这个宇宙中，工作日与年份是如何排列的。 1900 年 1 月 1 日（我们可以在任何我们喜欢的地方开始一个 400 年的循环，只要它是在采用公历之后）是一个星期一，所以请更新您的 first main 来自

for(int yr=1;yr<=400;yr++)

到

for(int yr=1900; yr < 1900+400; yr++)

你会马上得到正确答案。

正如已经确定的那样，工作日与年份对齐的特定方式是导致此处 'potential' 答案差异的原因。为什么the 13th of the month is more likely to fall on a Friday than on any other day of the week.
背后的原因是一样的

模棱两可的期望值

Ambiguous Expectation value

c++

algorithm

math

probability