使用 random(7) 设计一个 random(5)

Question

给定一个随机数生成器random(7)，它可以等概率生成数字1,2,3,4,5,6,7（即每个数字出现的概率是1/7）。现在我们要设计一个随机数（5），它可以等概率（1/5）产生1,2,3,4,5。

有一种方法：每次我们运行随机（7），只有return当它产生1-5时。如果是 6 或 7，则再次运行，直到它是 1-5。

我有点困惑。第一个问题是：

如何用数学方法证明每个数字出现的概率是1/5？例如，假设 returned 数字 1 的概率是 P(1)。如果B表示'the selected number is in 1-5'，A表示'select 1'，那么根据条件概率，P(1) = P(A|B) = P(AB) / P(B)。显然 P(B) 是 5/7。但是如果P(1)=1/5，P(AB)应该是1/7，为什么呢？我认为 P(A)=1/7。有什么地方不对吗？

第二个问题，这个方法会运行 until random(7) 而不是return 6或者7，如果运行很长时间不是[=24怎么办？ =]ing 1-5？我知道这个机会非常非常小，但是有什么办法可以避免吗？

谢谢！

Answer 1

用 rnd(7) 掷出 n(1..5) 的概率是 每卷 1/7。第一卷得到这样的数字的机会是 5/7，或者：在所有第一卷的 2/7 的情况下，你需要再掷一次.

当检查某个数字 n(1..5) 被滚动的概率时，这会导致系列：

p(n) = 1/7 + 2/7 * (1/7 + 2/7 * (1/7 + 2/7 * (...)))

这个数列的计算结果为 1/5，这是掷出特定数字 n(1..5) 的预期概率。

第二个问题：有几率需要永滚。 x 次掷出结果的概率是 1-(2/7)^x，这很快就会接近 1，所以你 很有可能得到结果只需几卷，但不能保证。在接下来的 5 分钟内仍然没有结果的概率变得比 C'thulu 在接下来的 5 分钟内吞噬行星的概率要小，所以没有必要建立一些预防措施。如果绝对必须，那么 return 1 在 n 次内部滚动之后，这只会稍微扭曲生成的随机数的分布。

Answer 2

第一个问题的答案由基本条件概率给出：

让 X 成为随机数 (7) 然后对于 {1,2,3,4,5} 中的任何 k:

P(X = k | X <= 5) = P(X = k)/P(X <= 5) = (1/7)/(5/7) = 1/5

这是根据观察结果得出的，即 2 个事件 X = k 和 X <= 5 的交集只是 X = k。

第一次成功之前的试验次数（成功是获得一个数字 <= 5）是一个具有 p = 5/7 的几何随机变量。预期的试验次数为 1/p = 7/5 = 1.4。在此设置中，您会早日获得成功。正如@PeterWalser 在他的回答中所说，不能快速获得 1-5 范围内数字的可能性微乎其微。

为了好玩，您可以编写一个简短的脚本来调查它。这是 Python 中的一个：

from random import randint
from collections import Counter

def trials_needed():
    num = randint(1,7)
    trial = 1
    while num > 5:
        num = randint(1,7)
        trial += 1
    return trial

counts = Counter(trials_needed() for i in range(10**6))
for c,i in counts.items(): print(c,":",i)

典型运行的输出：

超过 99% 的时间需要少于 5 次试验。超过10次试练极为罕见。

使用 random(7) 设计一个 random(5)

design a random(5) using random(7)

random

probability