Agda 的 `rewrite` 失败并出现错误提及变量 "w"

Question

我有这些定义（不相关的已删除）

open import Agda.Builtin.Nat renaming (Nat to ℕ)

infix 3 _>0
data _>0 : ℕ → Set where
  intro : ∀ n → suc n >0

infix 4 _*>0_
_*>0_ : ∀ {a b} → a >0 → b >0 → a * b >0
intro n *>0 intro m = intro (m + n * suc m)

infix 5 _÷_⟨_⟩
data ℚ : Set where
  _÷_⟨_⟩ : (a b : ℕ) → b >0 → ℚ

我想证明这是真的：

open import Agda.Builtin.Equality

div-mul-comm : ∀ a c d → (x : c >0) → (y : d >0) →
               a ÷ c * d ⟨ x *>0 y ⟩ ≡ a ÷ d * c ⟨ y *>0 x ⟩
div-mul-comm a c d x y = ?

但是无论我怎么尝试都无法证明这一点，而且错误信息很奇怪。
这是我试过的：

postulate nat-multiply-comm : ∀ a b → a * b ≡ b * a

div-mul-comm a c d x y
  rewrite nat-multiply-comm c d = {!!}

阿格达说：

c * d != w of type ℕ
when checking that the type
(c d w : ℕ) →
w ≡ d * c →
(a : ℕ) (x : c >0) (y : d >0) →
a ÷ w ⟨ x *>0 y ⟩ ≡ a ÷ d * c ⟨ y *>0 x ⟩
of the generated with function is well-formed

Answer 1

这里的问题是，当你将c * d重写为d * c时，你还需要将c * d >0的证明x *>0 y修补成[=的证明16=].

我个人会介绍两个中间引理：

>0-irrelevant : ∀ a → (p q : a >0) → p ≡ q

这允许您根据需要交换 a >0 的证明。并且

div-subst : ∀ a b c → b ≡ c → (p : b >0) (q : c >0) →
            a ÷ b ⟨ p ⟩ ≡ a ÷ c ⟨ q ⟩

它允许您用相等的值替换 ℚ 的第二个组件，并用另一个 q : c >0 替换现在过时的证明 p : b >0。 >0-irrelevant 将有助于证明第二个引理。

Agda 的 `rewrite` 失败并出现错误提及变量 "w"

Agda's `rewrite` fails with an error mentioning variable "w"

agda