n维的点分布

Question

积分怎么分配才能像Fig.A

图B的matlab代码：

N = 30;   % number of points
r = 0.5; % r = radius 
d = 50;  % dimension
C_point = 0; % center point
figure, clf
C = ones(1, d) * C_point;
C_rep = repmat( C,N,1);
X = randn(N,d); 
s2 = sum(X.^2,2) ;
radius = r * (rand(N,1).^(1/d));  
X = X.*repmat(radius./sqrt(s2),1,d) + C_rep; 

%% Plot 2D
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x = r*cos(t) + C(1);
y = r*sin(t) + C(2);    
plot(x,y,'b')
hold on
plot(C(1),C(2),'b.', 'MarkerSize', 10) % center point
hold on  
plot(X(:,1), X(:,2),'r.','markersize',10); 
axis equal;rotate3d off; rotate3d on;drawnow;shg; 
hold on
ax = axis;

Source of the code

我应该改成如图的样子。 A

Answer 1

OP 的代码计算在 d 维框中均匀分布的点，将这些点投影到 d 维球体上，然后对半径进行采样以将它们移动到 d 维球内。这是完美的，除了盒子内的点在投影到球体上时不会在该球体上形成均匀分布。相反，如果您找到分布在高斯分布中的随机点，则可以保证均匀的角度分布。

首先计算具有 d 维度高斯分布的点（我在这里对 OP 的代码进行了最小的更改）：

N = 1000;   % number of points
r = 0.5; % r = radius 
d = 3;  % dimension
C_point = 0; % center point
C = ones(1,d) * C_point;
C_rep = repmat(C,N,1);
X = randn(N,d);

请注意，我使用 randn，而不是 rand。 randn 创建高斯分布。

接下来我们对向量进行归一化，使点移动到球体上：

nX = sqrt(sum(X.^2,2));
X = X./repmat(nX,1,d);

这些点是均匀分布的，您可以通过 scatter3(X(:,1),X(:,2),X(:,3)); axis equal 并转动显示器来验证（2D 渲染并不公平）。这就是我上面设置d=3和N=1000的原因。我希望能够绘制点并看到很多点。

接下来我们计算到原点的随机距离，并根据维度对其进行校正：

radius = r * (rand(N,1).^(1/d));
X = X.*repmat(radius,1,d) + C_rep;

X 现在均匀分布在球中。同样，scatter3(X(:,1),X(:,2),X(:,3)); axis equal 显示了这一点。

但是，如果您设置 d=50 然后仅绘制数据的两个维度，您将看不到填满圆圈的数据。而且您也不会看到均匀分布。这是因为您将一个 50 维的球投影到 2 个维度上，这根本行不通。您要么必须相信数学，要么必须切片数据：

figure, hold on
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x = r*cos(t) + C(1);
y = r*sin(t) + C(2);    
plot(x,y,'b')
plot(C(1),C(2),'b.', 'MarkerSize', 10) % center point
axis equal

I = all(abs(X(:,3:d))<0.1,2);
plot(X(I,1), X(I,2),'r.','markersize',10);

I 那里的索引点在垂直于前两个显示的维度上靠近原点。同样，使用 d=50 时，您的点将很少，因此您需要将 N 设置得非常大！要查看与上述情况相同的点密度，对于您添加的每个维度，您需要将 N 乘以 10。因此对于 d=5，您将有 N=1000*10*10=1e5，对于d=50 你需要 N=1e50。当然，这完全无法计算。

n维的点分布

Points distribution in n-dimension

math

matlab

geometry

distribution