通过 SymPy 对多元函数进行微分并在某一点进行评估

Question

我想使用 SymPy 求多变量函数的导数，然后 a) 要打印的符号结果，然后 b) 要打印的点处的导数结果。我正在使用以下代码

 import math as m
 import numpy
 import scipy

 #define constants                                                               
 lambdasq = 0.09
 Ca = 3
 qOsq = 2

 def  f1(a,b,NN,ktsq,x):
      return NN*x**(-a)*ktsq**b*m.exp(m.sqrt(16*Ca/9*m.log(1/x)*m.log((m.log(ktsq/lambdasq))/m.log(qOsq/lambdasq))))

from sympy import *
x = symbols('x')

def f2(NN,a,b,x,ktsq):
    return  -x*diff(m.log(f1),x)

这会运行，但我找不到一种方法来打印符号结果，当我尝试在某个点进行评估时，比如添加 print(f2(0.3,0.1,-0.2,0.1,3)) 我得到一个错误

  TypeError: must be real number, not function

当我用它的符号表示替换 f1 时，我得到的是错误

  ValueError: 
  Can't calculate 1st derivative wrt 0.100000000000000.

所以我可以将我的问题总结如下

a) 如何在我调用 diff(m.log(f1),x) 时打印出符号导数及其值（即不必用其实际表示替换 f1）

b) 如果我必须在微分中使用符号表示（即使用 diff(m.log(NN*x**(-a)*ktsq**b*m.exp(m.sqrt(16*Ca/9*m.log(1/x)*m.log((m.log(ktsq\ /lambdasq))/m.log(qOsq/lambdasq))))),x) 那么如何打印出符号导数及其在某个点的值？

Python 的新手，所以希望有一个相对简单的修复。谢谢！

Answer 1

首先，math 函数是数字的，它们不能使用 SymPy 的符号。使用您已经使用 from sympy import *:

导入的 SymPy 中的相应函数（exp、log、sqrt）

def f1(a, b, NN, ktsq, x):
    return NN*x**(-a)*ktsq**b*exp(sqrt(16*Ca/9*log(1/x)*log((log(ktsq/lambdasq))/log(qOsq/lambdasq))))

其次，在 f2 中您试图区分 f1。但是 f1 是一个可调用的 Python 函数，而不是 SymPy 表达式。需要传入一些参数，得到一个SymPy表达式，然后可以求微分。

def f2(NN, a, b, x0, ktsq):
    return (-x*diff(log(f1(a, b, NN, ktsq, x)), x)).subs(x, x0)

这里，除了值 x0 之外的数字参数被传递给 f1，导致包含 x 的 SymPy 表达式。那是要区别对待的事情。之后用数值x0代入x。

print(f2(0.3,0.1,-0.2,0.1,3)) # 0.366748952743614

要点是 SymPy 区分 表达式 ，而不是函数。 SymPy中没有f'的概念，只有f'(x).

Answer 2

我发布这个答案是因为这个线程在搜索 'simpy multivariate differentiation' 时在我的搜索引擎上排名第一，可能会对某人有所帮助。

示例 1

import sympy as sp

def f(u):
    return (u[0]**2 + u[1]**10 + u[2] - 4)**2

u = sp.IndexedBase('u')

print(sp.diff(f(u), u[0]))

产出

4*(u[0]**2 + u[1]**10 + u[2] - 4)*u[0]

这是 f(u) 对 u[0]

的导数

示例 2

如果我们想要整个雅可比矩阵，我们可以这样做：

for i in range(3):
    print(sp.diff(f(u), u[i]))

输出

4*(u[0]**2 + u[1]**10 + u[2] - 4)*u[0]
20*(u[0]**2 + u[1]**10 + u[2] - 4)*u[1]**9
2*u[0]**2 + 2*u[1]**10 + 2*u[2] - 8

我们可以定义一个临时函数并复制粘贴这些行

def temp(u):
    return np.array([
        4*(u[0]**2 + u[1]**10 + u[2] - 4)*u[0],
        20*(u[0]**2 + u[1]**10 + u[2] - 4)*u[1]**9,
        2*u[0]**2 + 2*u[1]**10 + 2*u[2] - 8,
    ])

temp([1., 1., 1.])

这输出 array([ -4., -20., -2.])

并验证

from autograd import grad
gradient = grad(f)
gradient([1., 1., 1.])

这输出：[array(-4.), array(-20.), array(-2.)]

注意：这只是一个简单的展示如何在 sympy 中进行多元导数。我希望我可以帮助别人

通过 SymPy 对多元函数进行微分并在某一点进行评估

Differentiation of a multivariate function via SymPy and evaluation at a point

python

syntax-error

sympy

differentiation

python-3.x

示例 1

示例 2