计算最终市场分布——竞争性编程

Question

我在练习竞争性编程时遇到了以下问题。我手动解决了它，有点设计了一种方法，但我的答案是错误的，我无法想象如何扩展我的方法。

问题：

N家咖啡连锁店正在通过激烈的广告战争夺市场份额。每天都会有一定比例的顾客被说服从一个连锁店转到另一个连锁店。

给出了当前市场份额和每日客户转换概率。如果广告永远播放，市场份额的最终分配是什么？

假设：总市场份额为 1.0，客户转换的概率与其他客户和天数无关。

示例：2家咖啡连锁店：A和B A的市场份额：0.4 B的市场份额：0.6。

每天，客户从 A 切换到 B 的概率为 0.2 每天，客户从 B 切换到 A 的概率为 0.1

input: market_share=[0.4,0.6],

switch_prob = [[.8,.2][.1,.9]]

output: [0.3333 0.6667]

到这里都是问题的一部分，我没有形成示例或假设，他们给出了问题。

My_attempt：我的理解，switch probabilities表示从A切换到B的概率。

因此，

market_share_of_A = current_market_share - lost_customers + gained_customers and 
marker_share_of_B = (1 - marker_share_of_A)

iter_1: 
    lost_customers = 0.4 * 0.8 * 0.2 = 0.064
    gained_customers = 0.6 * 0.2 * 0.1 = 0.012
    market_share_of_A = 0.4 - 0.064 + 0.012 = 0.348
    marker_share_of_B = 1 - 0.348 = 0.652

iter_2:
    lost_customers = 0.348 * 0.1 * 0.2 = 0.00696
    gained_customers = 0.652 * 0.9 * 0.1 = 0.05868
    market_share_of_A = 0.348 - 0.00696 + 0.05868 = 0.39972
    marker_share_of_B = 1 - 0.32928 = 0.60028

my answer: [0.39972, 0.60028]

如前所述，预期答案为 [0.3333 0.6667]。

我不明白我哪里错了？如果有什么不对的地方，那一定是我对问题的理解。请提供您的想法。
在示例中，他们演示了一个简单的案例，即只有两个竞争对手。如果还有更多呢？让我们说三个 - A, B, C。我认为输入必须以 [[0.1, 0.3, 0.6]..] 的形式提供转换概率，因为 A 可能会因为 B 和 C 而失去其客户，并且会有很多这样的例子。现在，我将不得不计算至少两家公司的市场份额，第三家将是 (1-sum_of_all)。在计算 B 的市场份额时，我将不得不计算它失去的客户以及获得的客户，公式为 (current - lost + gained)。获得的总和为gain_from_A and gain_from_C。这个对吗？

Answer 1

根据我的评论，这个问题可以表示为矩阵方程。

"transition"矩阵的元素，T(i, j)（维度N x N）定义如下：

i = j（对角线）：客户停留的概率 i
i != j (off-diagonal)：链j的客户转移到链i

这个矩阵的物理意义是什么？让市场份额状态由大小为 N 的向量 P(i) 表示，其第 i 个值是链 i 的市场份额。向量 P' = T * P 是每天之后的 next 分享状态。

考虑到这一点，平衡方程由T * P = P给出，即最终状态在转换T下不变：

| T(1, 1)  T(1, 2)  T(1, 3) ... T(1, N) |   | P(1) |   | P(1) |
| T(2, 1)  T(2, 2)  ...                 |   | P(2) |   | P(2) |
| T(3, 1)  ...                          |   | P(3) |   | P(3) |
| .        .                            | * | .    | = | .    |
| .                 .                   |   | .    |   | .    |
| .                         .           |   | .    |   | .    |
| T(N, 1)                       T(N, N) |   | P(N) |   | P(N) |

然而，这本身无法解决 - P 只能确定其元素之间的多个比率（我忘记了这种情况的技术名称 - 正如 MBo 所暗示的那样由于退化）。还有一个额外的约束，即份额加起来为 1：

P(1) + P(2) + ... P(N) = 1

我们可以选择一个任意的份额值（比如，第 N 个）并用这个表达式替换它。相乘，等式第一行为：

T(1, 1) P(1) + T(1, 2) P(2) + ... T(1, N) (1 - [P(1) + P(2) + ... P(N - 1)]) = P(1)

--> [T(1, 1) - T(1, N) - 1] P(1) + [T(1, 2) - T(1, N)] P(2) + ... "P(N - 1)" = -T(1, N)

第二行的等价方程是：

[T(2, 1) - T(2, N)] P(1) + [T(2, 2) - T(2, N) - 1] P(2) + ... = -T(2, N)

为了总结一般模式，我们定义：

矩阵S(i, j)（维度[N - 1] x [N - 1]）：

- S(i, i) = T(i, i) - T(i, N) - 1
- S(i, j) = T(i, j) - T(i, N)         (i != j)

大小为 N - 1 的向量 Q(i) 包含 P(i)

N - 1

大小为 N - 1 的向量 R(i)，使得 R(i) = -T(i, N)

等式变成S * Q = R:

| S(1, 1)   S(1, 2)  S(1, 3) ... S(1, N-1)   |   | Q(1)   |   | R(1)   |
| S(2, 1)   S(2, 2)  ...                     |   | Q(2)   |   | R(2)   |
| S(3, 1)   ...                              |   | Q(3)   |   | R(3)   |
| .         .                                | * | .      | = | .      |
| .                  .                       |   | .      |   | .      |
| .                          .               |   | .      |   | .      |
| S(N-1, 1)                      S(N-1, N-1) |   | Q(N-1) |   | R(N-1) |

求解上述等式得到 Q，它给出了第一个 N - 1 个共享值（当然还有来自约束的最后一个）。这样做的方法包括高斯消去和LU分解，这两种方法都比直接计算Q = inv(S) * R的朴素路线更有效。

注意S和R中的符号可以翻转，稍微方便评价。

上面给出的玩具示例非常简单：

| 0.8   0.1 |   | P1 |   | P1 |
|           | * |    | = |    |
| 0.2   0.9 |   | P2 |   | P2 |

--> S = | -0.3 |, R = | -0.1 |

--> Q1 = P1 = -1.0 / -0.3 = 0.3333
    P2 = 1 - P1 = 0.6667

N = 3的示例：

    | 0.1  0.2  0.3 |           | -1.2   -0.1 |        | -0.3 |
T = | 0.4  0.7  0.3 |  -->  S = |             | ,  R = |      |
    | 0.5  0.1  0.4 |           |  0.1   -0.6 |        | -0.3 |

         | 0.205479 |
-->  Q = |          | , P3 = 0.260274
         | 0.534247 |

请原谅鲁滨逊漂流记风格的格式 - 我稍后会尝试用 LaTeX 编写这些以提高可读性。

计算最终市场分布——竞争性编程

Calculating final market distribution - competitive programming

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math

distribution

probability