在 SKI 组合器中表达 XOR

Question

我正在尝试解决 sure but can you SKI on codewars. It is about to express lambda in SKI combinators. Source is at https://repl.it/@delta4d/SKI。

经过一些研究，尤其是 Combinatory Logic，我能够解决除 xor.

以外的所有情况

我先把xor翻译成

xor x y = if y 
          then if x
               then false
               else true
          else x

也就是

xor = \x y -> y (x false true) x
-- false = K I
-- true = K

将 lambda 应用于 SKI 规则，我得到了

\x.\y.y (x false true) x
\x.S (\y.y (x false true)) (K x)
\x.S (S I (K (x false true))) (K x)
S (\x.S (S I (K (x false true)))) K
S (S (K S) (\x.S I (K (x false true)))) K
S (S (K S) (S (K (S I)) (\x.K (x false true)))) K
S (S (K S) (S (K (S I)) (S (K K) (\x.x false true)))) K
S (S (K S) (S (K (S I)) (S (K K) (S (\x.x false) (K true))))) K
S (S (K S) (S (K (S I)) (S (K K) (S (S I (K false)) (K true))))) K

我查看了 http://ski.aditsu.net 上的 SKI 演示文稿，效果很好。

Haskell 源编译，但出现运行时错误。

Codewars 报告：

Couldn't match type `a' with `Bool' a'
  `a' is a rigid type variable bound by
      a type expected by the context: a -> a -> a at Kata.hs:66:9
Expected type: SKI
                 (Bool' a -> (Bool' a -> Bool' a -> Bool' a) -> a -> a -> a)
  Actual type: SKI (Bool' (Bool' a))
In the second argument of `xorF', namely `true'
In the second argument of `($)', namely `xorF true true'

我用 prettyPrintSKI $ Ap (Ap xor' false) true 在本地进行了测试，它报告：

• Occurs check: cannot construct the infinite type: a20 ~ Bool' a20
  Expected type: SKI
                   (Bool' a20 -> (Bool' a20 -> Bool' a20 -> Bool' a20) -> Bool' a20)
    Actual type: SKI (Bool' (Bool' a20))
• In the second argument of ‘Ap’, namely ‘true’
  In the second argument of ‘($)’, namely ‘Ap (Ap xor' false) true’
  In the expression: prettyPrintSKI $ Ap (Ap xor' false) true

什么是无限类型？什么是刚性类型？

我在 or 上做的事情和 or = \x y -> x true y 一样，而且效果很好。

Answer 1

问题来自 λxy.y (x false true) x 中 x 的双重使用。它被迫同时具有两种类型。由于 y 使用 x，y 必须 return 比方说类型 a。现在这意味着 x false true 也是 a 类型。所以 a 类型的东西必须是 (b -> b -> a)（对于某些 b）。但那是不可能的，因为这意味着 a 必须包含它自己。

值得注意的是，您的解决方案是正确的。 SK，只是不是 Haskell 的类型系统。所以要修复我们不需要对不同类型使用 x 两次。那么，为什么不将它们设为与 λxy.y(x false true)(x true false) 相同的类型呢？

在 SKI 组合器中表达 XOR

Express XOR in SKI combinators

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