使用 Sympy 和 Scipy 求解欠定方程组和约束

Question

我正在编写一个 python 脚本，该脚本将有助于年度投资组合再平衡。对于那些不熟悉这个概念的人来说，它基本上意味着每年 buying/selling 具有 gained/lost 价值的资产，以便您的投资组合实际匹配您想要的资产配置。如果在 1 月 1 日，您的投资组合分配比例为 50/50 stock/bond，并且股市表现出色，到同年 12 月 31 日，您的投资组合中的股票将增持，这意味着您将需要出售一些股票来购买债券，以便将分配比例恢复到 50/50。如果所有资产都在一个账户中，弄清楚如何做到这一点非常容易，但如果您在多个账户中进行投资，它就会变得复杂，尤其是如果它们是退休账户，您在退休年龄之前不应该退出.

对于再平衡步骤，我建立了一个包含 8 个简单线性方程的系统。它们看起来大致像这样（参见第二个代码块中的增广矩阵）：

Asset1 + Asset2 + ... = us_bonds_target 
Asset1 + Asset2+ ... = total_401k_value
...and so on

然后我按以下方式使用 Sympy 的 solve_linear_system 函数：

from sympy import Matrix, symbols, solve_linear_system

Assets_Matrix = Matrix([[1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 9571165],
                        [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7298011],
                        [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 4665941],
                        [0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 7178371],
                        [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 7178371],
                        [1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 22550494],
                        [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 7200311],
                        [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 6141054]])

Asset1, Asset2, Asset3, Asset4, Asset5, Asset6, Asset7, Asset8 = symbols('Asset1, Asset2, Asset3, Asset4, Asset5, Asset6, Asset7, Asset8', nonnegative = True)
solution = solve_linear_system(Assets_Matrix, Asset1, Asset2, Asset3, Asset4, Asset5, Asset6, Asset7, Asset8)

运行此代码产生如下输出：

{Asset5: 7200311,
 Asset6: -Asset8 - 1037317,
 Asset7: 7178371,
 Asset3: Asset8 + 8215688,
 Asset4: 4665941,
 Asset2: 7298011,
 Asset1: -Asset8 + 2370854}

这非常接近我想要的，这是一个资产列表及其重新平衡的目标值。但是，有一些限制：

有时它会给我负面的解决方案，这在这种情况下是没有用的。现实生活中资产价值不能小于0。
这是一个更大的问题：我无法对任何变量指定约束。这些资产中的大多数是共同基金，并且为每项资产保持一定的最低价值是有利的，因为一些共同基金具有不同的"classes"，如果您满足，它们具有较低的费用率（每年持有投资的成本）最低投资额。对于这些资产中的大多数，我希望每项资产的投资不少于 1 万美元。我意识到有时这会导致系统无法求解，但我至少想先尝试用这些约束来求解它，然后在求解器失败时放宽它们。

在研究了堆栈溢出和 google 之后，我了解到这个问题的解决应该可以使用线性规划来解决。所以我按如下方式设置问题（请注意，我还没有将资产的最低价值要求纳入代码中——除了它们需要为正——我只是想证明这种方法会产生有用的解决方案） :

from scipy.optimize import linprog

A = [[1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1],
     [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0],
     [1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]]
B = [9571165, 7298011, 4665941, 7178371, 7178371, 22550494, 7200311, 6141054]
C = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

linprog(c = C, A_eq = A, b_eq = B, bounds = (0, None), method = 'interior-point')

但是，当我运行这段代码时，我得到以下输出：

     con: array([  2370852.29007765,         0.        ,         0.        ,
         7178369.8786112 ,         0.        ,  10586541.29564287,
               0.        ,  -1037319.12695402])
     fun: 0.0
 message: 'The algorithm terminated successfully and determined that the problem is infeasible.'
     nit: 4
   slack: array([], dtype=float64)
  status: 2
 success: False
       x: array([  3.97865052e-02,   7.29801100e+06,   6.64570623e-01,
         4.66594100e+06,   7.20031100e+06,   4.56818174e-01,
         7.17837100e+06,   1.67013585e+00])

出于某种原因，linprog 似乎不喜欢我的方程式。我的问题是否适合 linprog 函数？如果是这样，我做错了什么？或者我应该以不同的方式解决这个问题？

Answer 1

The algorithm terminated successfully and determined that the problem is infeasible.

这意味着问题无法在限制条件下解决。要了解原因，让我们仔细看看 sympy 结果：

Asset5: 7200311
Asset6: -Asset8 - 1037317
Asset7: 7178371
Asset3: Asset8 + 8215688
Asset4: 4665941
Asset2: 7298011
Asset1: -Asset8 + 2370854

资产 2、4、5、7 是唯一定义的。
资产 1、3、6、8 共享一个自由度

这意味着我们可以为资产 1、3、6 或 8 中的一项选择任何值，而其他资产则从中得出。现在应用资产不能为负的约束。

从 Asset1 >= 0 开始 Asset8 <= 2370854
从 Asset3 >= 0 开始 Asset8 >= -8215688
从 Asset6 >= 0 得出 Asset8 <= -1037317 ... 这与 Asset8 >= 0 不兼容。

综上所述，如果所有资产都必须为正，则问题无法解决。

使用 Sympy 和 Scipy 求解欠定方程组和约束

Solving under-determined system of equations and constraints with Sympy and Scipy

python

finance

sympy

scipy