三次样条插值与多项式插值

Question

我被要求针对以下几点使用 Matlab 研究不同类型的插值：

x = [32 34 35 36 37 38]
y = [26 28 31 30 29 25]

并找到 f(33)、f(33.5) 和 f(35) 的值。

绘制 x 和 y 时，我可以看到 f(33) 应该在 27 左右，这也是我使用 interp1(x,y,33).

得到的值

我不确定这是否是使用三次样条插值函数的正确方法，但我使用了 spline(x,y,33) 并得到了 ans = 24.3906。

无论我使用哪种类型的插值，我都不应该为 f(33) 获得相同的值吗？

Answer 1

插值确保插值函数的值与您提供的点处的原始函数值相同。查看您的代码，这意味着 f(35) 将相同并且对于每种插值方法都等于 31 。

但是，根据插值方法，每个连续方法之间的曲线会有所不同，因此会给出不同的值，这是预期的。

Answer 2

想将此添加到我投票支持的@hazeiio 的。你可以看到这很好地说明了这一点。

插值方法极大地影响了数据点之间获得的值（见下图）。您会发现在不检查可能出错的情况下盲目调用插值方法是很危险的。

% MATLAB R2017a
x = [32 34 35 36 37 38];
y = [26 28 31 30 29 25];  

xTgts = [33 33.5 35 37.25 37.5 37.75];

% Interpolation between data points depends on method
Linear = interp1(x,y,xTgts)
Spline = interp1(x,y,xTgts,'spline')    % Equivalent to spline(x,y,xTgts) yet faster somehow
Cubic = interp1(x,y,xTgts,'pchip')

正如所指出的，它们将完全匹配数据（见下图）。

% Interpolation of data points will match
Linear = interp1(x,y,x)
Spline = interp1(x,y,x,'spline')    
Cubic = interp1(x,y,x,'pchip')

说明代码

step = 0.01;
xTest = (32:step:38)';

figure, hold on, box on
p(1) = plot(x,y,'ks','DisplayName','Data')
p(2) = plot(xTest,interp1(x,y,xTest),'b-','DisplayName','Linear')
p(3) = plot(xTest,interp1(x,y,xTest,'spline'),'r-','DisplayName','Spline')
p(4) = plot(xTest,interp1(x,y,xTest,'pchip'),'g-','DisplayName','Cubic')
legend('show')

% Options
xlabel('X')
ylabel('Y')
title('Interpolation Example')
for k = 1:4, p(k).LineWidth = 2; end
axis equal
xlim([31 39])
ylim([24 32])

参考：
Interpolation (wiki)
Interpolation Methods

Dangers of Interpolation
Higher Order Interpolation is a Bad Idea

三次样条插值与多项式插值

Cubic spline interpolation vs polynomial interpolation

matlab

interpolation

cubic-spline