Python "Stars and Bars"

Question

我正在尝试获得所有可能的方法来将 n 颗糖果分配给 k children。例如，根据 stars-and-bars 公式，将 96 颗糖果分配给 5 children 的方法数是 100! / (96!*4!) = 3 921 225 个大小为 5 的所有可能排列的元组。

list2 = [item for item in it.product(range(97), repeat = 5)
             if sum(item) == 96]

我的电脑似乎被复杂性淹没了。每个元组消耗 24*5 = 120 字节的内存。这导致 921 225 * 120 = 470547000 字节或 450 MB。好像没那么多为什么 PC 生成此列表的速度如此之慢？我错过了什么？

Answer 1

我发现你的数学有两个问题。

首先，您在那里描述了一个组合。实际上，你在想（96 选择 5），这并没有涵盖所有排列。

其次，排列实际上是 96!/91!，比 ~400 万several orders of magnitude higher。

只需添加字节数，you're in the high gigabyte range 现在的内存使用量，可以解释为什么您的机器变慢了；仅由此产生的内存使用量就足以压垮大多数现代消费类机器。

Answer 2

这是使您的方法奏效的一种方法。它使用 itertools.combinations。构建完整列表需要几秒钟。要获得更快的基于 numpy 的方法，请参阅此 post.

的底部

它的工作原理是枚举 1 到 100 之间的四个柱的所有组合，总是添加外部柱 0 和 101。五个孩子的分配是柱之间的值，即柱的差异减一。

import numpy as np
import itertools


bars = [0, 0, 0, 0, 0, 101]
result = [[bars[j+1] - bars[j] - 1 for j in range(5)] for bars[1:-1] in itertools.combinations(range(1, 101), 4)]

# sanity check
len(result)
# 3921225
# show few samples
from pprint import pprint
pprint(result[::400000])
# [[0, 0, 0, 0, 96],
#  [2, 26, 12, 8, 48],
#  [5, 17, 22, 7, 45],
#  [8, 23, 30, 16, 19],
#  [12, 2, 73, 9, 0],
#  [16, 2, 25, 40, 13],
#  [20, 29, 24, 0, 23],
#  [26, 13, 34, 14, 9],
#  [33, 50, 4, 5, 4],
#  [45, 21, 26, 1, 3]]

为什么你的效果不佳？我认为主要是因为你的循环有点浪费，97^5 比 100 选择 4 大很多。

如果你想要它真的很快，你可以用 numpy 版本替换 itertools.combinations：

def fast_comb(n, k):
    a = np.ones((k, n-k+1), dtype=int)
    a[0] = np.arange(n-k+1)
    for j in range(1, k):
        reps = (n-k+j) - a[j-1]
        a = np.repeat(a, reps, axis=1)
        ind = np.add.accumulate(reps)
        a[j, ind[:-1]] = 1-reps[1:]
        a[j, 0] = j
        a[j] = np.add.accumulate(a[j])
    return a

fb = fast_comb(100, 4)
sb = np.empty((6, fb.shape[1]), int)
sb[0], sb[1:5], sb[5] = -1, fb, 100
result = np.diff(sb.T) - 1

result.shape
# (3921225, 5)
result[::400000]
# array([[ 0,  0,  0,  0, 96],
#        [ 2, 26, 12,  8, 48],
#        [ 5, 17, 22,  7, 45],
#        [ 8, 23, 30, 16, 19],
#        [12,  2, 73,  9,  0],
#        [16,  2, 25, 40, 13],
#        [20, 29, 24,  0, 23],
#        [26, 13, 34, 14,  9],
#        [33, 50,  4,  5,  4],
#        [45, 21, 26,  1,  3]])

这大约需要一秒钟。

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