MATLAB 中 ODE 解的导数值错误

Question

尝试使用 here 中描述的经典 Runge-Kutta 方法求解非线性 ODE 的柯西问题（参见 ode4）。运行这部分之后

q = 10;
T = 5;
N = @(g1, g2) g1^2 + sin(g2);

t = linspace(0, T, q);
GCC = nonlinearGreenCC(N, 1, T);
di = diff(GCC);

我评估 GCC(1) 和 di(1)。虽然 GCC(1) = 0 符合预期，但 di(1) = 1.6e-05。不明白为什么，因为一阶导数的柯西条件是1。如何修正inaccuracy/mistake？非常感谢任何帮助。

函数nonlinearGreenCC如下：

function G = nonlinearGreenCC(N, a0, T)

h = .0001;
eqGreen = @(t, g)[g(2); - N(g(1), g(2))];
Cc = [0, a0];
G = ode4(eqGreen, 0, h, T, Cc);

end

Answer 1

GCC 是一组值对，开始与

之类的东西进行更精确的集成

[  0.00000000e+00,   1.00000000e+00],
[  9.99957927e-05,   9.99915855e-01],
[  1.99983171e-04,   9.99831715e-01],
[  2.99962136e-04,   9.99747579e-01],
[  3.99932687e-04,   9.99663448e-01],

用于精确值，但使用 ode4 函数的结果以类似

的内容开头

 0                         1
 1.66652642851402e-05      1.00001666526429
-1.40231141152723e-05      0.999985976885885
 1.66638620438405e-05      1.00001666386204
-1.40217119017434e-05      0.999985978288098

它不包含时间间隔的采样，确实在你所说的diff级别上，h的值是未知的。 diff 无法计算出您似乎期望的差商。如果您阅读文档，您应该会发现它只计算差异。而第一个差异 return 只是第一个值 1.66652642851402e-05.

导致 ode4 算法产生奇怪结果的直接错误是 eqGreen 在应该 return 行向量的地方生成列向量。由于初始值是一个行向量，在 ode4 中添加行向量和列向量的结果产生一个 2x2 矩阵，该矩阵作为 2 行添加到结果中，结果令人困惑。拥有两个行向量会将结果放入具有交替值和导数的一行中。改为

eqGreen = @(t, g)[g(2), - N(g(1), g(2))];
Cc = [0, a0];

结果是

GCC(1:5,:) =

                     0                     1
  9.99957927208439e-05     0.999915855174488
  0.000199983171186392     0.999831714893813
  0.000299962135851046     0.999747579156327
  0.000399932687169042     0.999663447960381

di(1:5,:)=

  9.99957927208439e-05  -8.41448255122224e-05
  9.99873784655483e-05  -8.41402806746050e-05
  9.99789646646540e-05  -8.41357374861129e-05
  9.99705513179961e-05  -8.41311959463020e-05
  9.99621384254097e-05  -8.41266560547282e-05

如果通过除以 h=1e-4 缩放最后一个，您将得到预期的结果。

MATLAB 中 ODE 解的导数值错误

Wrong value for the derivative of the solution of an ODE in MATLAB

matlab

derivative

ode

differential-equations