Julia 或 R：通过最少的非对角线元素创建对称矩阵

Question

这是一个复杂的问题。我在 R 中有一个任意方阵（也可以在 Julia 中），例如

> set.seed(420)
> A <- matrix(runif(16),nrow = 4,byrow = T)
> A
          [,1]      [,2]      [,3]      [,4]
[1,] 0.6055390 0.9702770 0.1744545 0.4757888
[2,] 0.7244812 0.8761027 0.3775037 0.6409362
[3,] 0.6546772 0.5062158 0.3033477 0.7162497
[4,] 0.2905202 0.1962252 0.3225786 0.8404279

我想把这个矩阵变换成对称矩阵，使得非对角线元素总是A矩阵的2个对应的非对角线元素中的最小值。在上面的例子中，结果必须是：

          [,1]      [,2]      [,3]      [,4]
[1,] 0.6055390 0.7244812 0.1744545 0.2905202
[2,] 0.7244812 0.8761027 0.3775037 0.1962252
[3,] 0.1744545 0.3775037 0.3033477 0.3225786
[4,] 0.2905202 0.1962252 0.3225786 0.8404279

想要一种在 Julia 中高效且不耗时的编程方式 and/or R。必须适用于任何类型的方阵。

Answer 1

可能最好的方法是使用 Rcpp 进行几个 for 循环，但您也可以尝试一下：

idx <- A <= t(A)
A * idx + t(A) * (1L - idx)

编辑

基本的 R 解决方案在时间和内存方面都是低效的。如果您需要速度 and/or 内存，这里是使矩阵对称的 Rcpp 函数。一个就地修改它，另一个 returns 一个副本。

library(Rcpp)

cppFunction('
void inplaceSymmetric(NumericMatrix A) {
  for (int i = 1; i < A.nrow(); ++i)
    for (int j = 0; j < i; ++j)
      if (A(i, j) < A(j, i)) 
        A(j, i) = A(i, j);
      else 
        A(i, j) = A(j, i);
}')

cppFunction('
NumericMatrix copySymmetric(NumericMatrix A) {
  NumericMatrix C = clone(A);
  for (int i = 1; i < A.nrow(); ++i)
    for (int j = 0; j < i; ++j)
      if (A(i, j) < A(j, i))
        C(j, i) = C(i, j);
      else
        C(i, j) = C(j, i);
  return C;
}')

Answer 2

在 Julia 中，一行是

B = [min(A[i,j], A[j,i]) for i in axes(A, 1), j in axes(A, 2)]

但是，这样做的工作量是所需的两倍。以下方法更有效，可以就地修改原始矩阵，如果您的矩阵不是正方形，则会生成一条很好的错误消息：

function symmetrize_min!(A::AbstractMatrix)
    ax1 = axes(A, 1)
    axes(A, 2) == ax1 || error("A must be square")
    for j in ax1
        for i in j+1:last(ax1)
            A[i,j] = A[j,i] = min(A[i,j], A[j,i])
        end
    end
    return A
end

在 Julia 中，修改参数以 ! 结尾的函数是一种约定，作为对用户的警告。如果你不希望它修改 A，那么你可以在调用它之前 copy(A) 或者做一个小的改变：

function symmetrize_min(A::AbstractMatrix)
    ax1 = axes(A, 1)
    axes(A, 2) == ax1 || error("A must be square")
    B = similar(A)
    for j in ax1
        B[j,j] = A[j,j]
        for i in j+1:last(ax1)
            B[i,j] = B[j,i] = min(A[i,j], A[j,i])
        end
    end
    return B
end

在 Julia 中，你应该拥抱循环——它们很快。而且因为它们很容易编写，所以看似复杂的问题变得简单。

Julia 或 R：通过最少的非对角线元素创建对称矩阵

Julia or R: create symmetric matrix by minimum of off-diagonal elements

r

symmetric

matrix

julia