2个相同比例的数字相除结果总是相同的吗？
Will division result of 2 numbers with the same ratio always be the same?
a 是一个 integer.
b 也是一个 integer，但声明为 double。
c = a/b，并且 c 也声明为 double。
还有a2、b2、c2，规则与a、b、c相似。
另外，在十进制代数方面，2组数满足：a / b = a2 / b2、（如8 / 18.0 = 12 / 27.0）。
问题是：
- 在计算机中（二进制），
c和c2总是完全一样吗？
例如
111 / 135.0 = 0.8222222222222222
333 / 405.0 = 0.8222222222222222
（我的猜测是肯定的，因为所有的整数都可以用有限位数的二进制表示，但不确定在计算机中除法时是否会有所不同。）
@更新
假设计算机/语言对整数使用 32 位，对双精度使用 64 位。
（顺便说一句，这个问题在编写测试用例时出现，不确定简单地使用 == 是否足够，或者允许使用小的增量（= (expected - actual) / actual），例如 +/- 0.000001 ).
总结
是，如果：
a和a2是32位整数，b 和 b2 是非零 Java double 值，并且 a / b = a2 / b2,
然后 a / b 等于 a2 / b2。 （注意 a / b 表示实数运算，而 a / b 表示浮点运算。 4 / 3 正好是 1⅓，而 4./3 是 1.3333333333333332593184650249895639717578887939453125。）
证明
根据作者的评论，这是针对 Java，它使用 IEEE 754，包括 double 的 IEEE-754 基本 64 位二进制浮点数。
大多数浮点运算的一个基本属性是，计算结果是四舍五入到浮点格式可表示的最接近值的实数结果。结果是：
- 如果两个运算有相同的实数结果并使用相同的舍入规则，则它们有相同的浮点数结果。
（有各种舍入规则。Java 使用 round-to-nearest-ties-to-even，意思是使用最接近的可表示值，如果有平局，则与使用偶数低位。)
另一个结果是：
- 如果运算的实数结果可以浮点格式表示，则为浮点结果。 （没有舍入误差。）
现在让我们考虑表达式 a / b 和 a2 / b2。由于混合类型，每个中的第一步是分别将 a 或 a2 从其整数类型转换为 double。这个问题告诉我们假设整数类型有 32 位。所有 32 位整数都可以在 double 中精确表示（因为 double 具有 53 位有效数字）。转换值的数学结果当然是值本身，因为转换旨在更改类型，而不是值。因此，将a或a2转换为double的结果分别正好是a或a2。
接下来是除法，a / b或a2 / b2。我们被告知 a / b = a2 / b2。这告诉我们 a / b 的实数结果等于 a2 / b2 的实数结果。由于这两个运算的实数结果相同，使用相同的舍入规则，所以它们的浮点数结果相同。
讨论
以上的一些限制是：
- 如果
a 或 a2 可能超过 53 位，则它可能具有无法在 double 中表示的值。那么将其转换为double的操作就得对其取整了。四舍五入可能会以不同方式影响 a 和 a2，然后商 a / b 和 a2 / b2 可能会不同。
- 一些编程语言对如何执行浮点运算并不严格，并且它们不符合 IEEE-754 规则。我相信以上内容适用于 Java，但 C 或 C++ 中可能存在问题。
请注意，b 和 b2 可能非常小（包括零）以致商溢出，计算结果为无穷大。尽管如此，a / b = a2 / b2 的事实将要求两个结果都是无穷大或两者都不是 - 浮点结果等于实数的规则数字结果仍然相等。
如果 a、a2、b 和 b2 为零，则两个运算都会产生 NaN，但两个 NaN 不会比较相等。
如果 a 和 a2 不为零但 b 和 b2 为零，则这两个操作都会产生无穷大。符号将是分子和除数符号的 XOR。这意味着即使 a = a2 和 b = b2，a / b 和 a2 / b2 也会产生不同的无穷大（一个正数，一个负数） ，因为 IEEE-754 有 +0 和 −0，它们比较相等但符号不同。
a 是一个 integer.
b 也是一个 integer，但声明为 double。
c = a/b，并且 c 也声明为 double。
还有a2、b2、c2，规则与a、b、c相似。
另外，在十进制代数方面，2组数满足：a / b = a2 / b2、（如8 / 18.0 = 12 / 27.0）。
问题是：
- 在计算机中（二进制），
c和c2总是完全一样吗？
例如111 / 135.0 = 0.8222222222222222 333 / 405.0 = 0.8222222222222222
（我的猜测是肯定的，因为所有的整数都可以用有限位数的二进制表示，但不确定在计算机中除法时是否会有所不同。）
@更新
假设计算机/语言对整数使用 32 位，对双精度使用 64 位。
（顺便说一句，这个问题在编写测试用例时出现，不确定简单地使用 == 是否足够，或者允许使用小的增量（= (expected - actual) / actual），例如 +/- 0.000001 ).
总结
是，如果：
a和a2是32位整数，b和b2是非零 Javadouble值，并且a/b=a2/b2,
然后 a / b 等于 a2 / b2。 （注意 a / b 表示实数运算，而 a / b 表示浮点运算。 4 / 3 正好是 1⅓，而 4./3 是 1.3333333333333332593184650249895639717578887939453125。）
证明
根据作者的评论，这是针对 Java，它使用 IEEE 754，包括 double 的 IEEE-754 基本 64 位二进制浮点数。
大多数浮点运算的一个基本属性是，计算结果是四舍五入到浮点格式可表示的最接近值的实数结果。结果是：
- 如果两个运算有相同的实数结果并使用相同的舍入规则，则它们有相同的浮点数结果。
（有各种舍入规则。Java 使用 round-to-nearest-ties-to-even，意思是使用最接近的可表示值，如果有平局，则与使用偶数低位。)
另一个结果是：
- 如果运算的实数结果可以浮点格式表示，则为浮点结果。 （没有舍入误差。）
现在让我们考虑表达式 a / b 和 a2 / b2。由于混合类型，每个中的第一步是分别将 a 或 a2 从其整数类型转换为 double。这个问题告诉我们假设整数类型有 32 位。所有 32 位整数都可以在 double 中精确表示（因为 double 具有 53 位有效数字）。转换值的数学结果当然是值本身，因为转换旨在更改类型，而不是值。因此，将a或a2转换为double的结果分别正好是a或a2。
接下来是除法，a / b或a2 / b2。我们被告知 a / b = a2 / b2。这告诉我们 a / b 的实数结果等于 a2 / b2 的实数结果。由于这两个运算的实数结果相同，使用相同的舍入规则，所以它们的浮点数结果相同。
讨论
以上的一些限制是：
- 如果
a或a2可能超过 53 位，则它可能具有无法在double中表示的值。那么将其转换为double的操作就得对其取整了。四舍五入可能会以不同方式影响a和a2，然后商a / b和a2 / b2可能会不同。 - 一些编程语言对如何执行浮点运算并不严格，并且它们不符合 IEEE-754 规则。我相信以上内容适用于 Java，但 C 或 C++ 中可能存在问题。
请注意，b 和 b2 可能非常小（包括零）以致商溢出，计算结果为无穷大。尽管如此，a / b = a2 / b2 的事实将要求两个结果都是无穷大或两者都不是 - 浮点结果等于实数的规则数字结果仍然相等。
如果 a、a2、b 和 b2 为零，则两个运算都会产生 NaN，但两个 NaN 不会比较相等。
如果 a 和 a2 不为零但 b 和 b2 为零，则这两个操作都会产生无穷大。符号将是分子和除数符号的 XOR。这意味着即使 a = a2 和 b = b2，a / b 和 a2 / b2 也会产生不同的无穷大（一个正数，一个负数） ，因为 IEEE-754 有 +0 和 −0，它们比较相等但符号不同。