从卷积核生成线性运算矩阵的 Numpy 方法

Question

形状为 (k1, k2, n_channel, n_filter) 的二维卷积核 K 应用于形状为 (m1, m2, n_channel) 的二维向量 A 并生成另一个二维向量 B，形状为 (m1 - k1 + 1, m2 - k2 + 1, n_filter)（具有有效填充）。

对于每个K，也确实存在一个形状(m1 - k1 + 1, m2 - k2 + 1, n_filter, m1, m2, n_channel)的W_K，使得W_K和A的张量点等于 B。即 B = np.tensordot(W_K, A, 3).

我正在尝试找到一个纯 NumPy 解决方案来从 K 生成此 W_K，而不使用任何 python 循环。

我可以看到 W_K[i,j,f] == np.pad(K[...,f], ((i,m1-i-k1), (j,m2-j-k2)), 'constant', constant_values=0) 或者只是 W_K[i, j, f, i:i+k1, j:j+k2, ...] == K[..., f].

我要找的几乎与 Toeplitz 矩阵相似。但我需要多维度的。

循环代码示例：

import numpy as np

# 5x5 image with 3-channels
A = np.random.random((5,5,3))
# 2x2 Conv2D kernel with 2 filters for A  
K = np.random.random((2,2,3,2))

# It should be of (4,4,2,5,5,3), but I create this way for convenience. I move the axis at the end.
W_K = np.empty((4,4,5,5,3,2))
for i, j in np.ndindex(4, 4):
  W_K[i, j] = np.pad(K, ((i, 5-i-2),(j, 5-j-2), (0, 0), (0, 0)), 'constant', constant_values=0)

# above lines can also be rewritten as
W_K = np.zeros((4,4,5,5,3,2))
for i, j in np.ndindex(4, 4):
  W_K[i, j, i:i+2, j:j+2, ...] = K[...]

W_K = np.moveaxis(W_K, -1, 2)

# now I can do
B = np.tensordot(W_K, A, 3)

Answer 1

您想要的东西需要一些 fancy indexing 体操，但编码不是很麻烦。这个想法是创建应用第二个循环示例的 W_K[i, j, i:i+2, j:j+2, ...] 部分的 4 维索引数组。

这里是你的例子的一个稍微修改的版本，只是为了确保一些相关的维度不同（因为这使得错误更容易找到：它们将是正确的错误而不是错误的值）：

import numpy as np

# parameter setup
k1, k2, nch, nf = 2, 4, 3, 2 
m1, m2 = 5, 6 
w1, w2 = m1 - k1 + 1, m2 - k2 + 1 
K = np.random.random((k1, k2, nch, nf)) 
A = np.random.random((m1, m2, nch)) 

# your loopy version for comparison
W_K = np.zeros((w1, w2, nf, m1, m2, nch)) 
for i, j in np.ndindex(w1, w2): 
    W_K[i, j, :, i:i+k1, j:j+k2, ...] = K.transpose(-1, 0, 1, 2) 

W_K2 = np.zeros((w1, w2, m1, m2, nch, nf))  # to be transposed back
i,j = np.mgrid[:w1, :w2][..., None, None]  # shape (w1, w2, 1, 1) 
k,l = np.mgrid[:k1, :k2]  # shape (k1, k2) ~ (1, 1, k1, k2)  

W_K2[i, j, i+k, j+l, ...] = K 
W_K2 = np.moveaxis(W_K2, -1, 2) 

print(np.array_equal(W_K, W_K2))  # True

我们首先创建一个索引网格 i,j，它跨越 W_K 的前两个维度，然后创建两个相似的网格，跨越它的（pre-moveaxis）第二和第三个维度.通过将两个尾随的单一维度注入前者，我们最终得到 4d 索引数组，它们一起跨越 W_K.

的前四个维度。

剩下的就是使用原始 K 分配给这个切片，然后移回维度。由于当表达式中的切片（非高级）索引并非彼此相邻时高级索引如何改变行为，因此使用 moveaxis 方法更容易做到这一点。我首先尝试创建具有最终尺寸的 W_K2，但随后我们会得到具有细微不同行为（特别是不同形状）的 W_K[i, j, :, i+k, j+l, ...]。

从卷积核生成线性运算矩阵的 Numpy 方法

Numpy way to generate linear operation matrix from a convolution kernel

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vectorization

convolution

tensorflow