在 Isabelle 中使用 simprocs 重写正弦

Question

我想实现一个能够将 sin 的参数重写为线性组合 x + k * pi + k' * pi / 2（理想情况下 k' = 0 或 k' = 1）的 simproc，然后应用关于在正弦中添加参数的现有引理。

步骤如下：

模式匹配目标以提取 sin(expr) 的参数：

fun dest_sine t =
      case t of
        (@{term "(sin):: real ⇒ real"} $ t') => t'
      | _ => raise TERM ("dest_sine", [t]) ;

证明对于某些 x, k, k': expr = x + k*pi + k' * pi/2.
使用现有引理重写为更简单的三角函数：

fun rewriter x k k' =
 if (k mod 2 = 0 andalso k' = 0) then @{term "sin"} $ x
 else if (k mod 2 = 0 andalso k' = 1) then @{term "cos"} $ x
 else if (k mod 2 = 1 andalso k' = 0) then @{term "-sin"} $ x
 else @{term "-cos"} $ x

我卡在了第二步。这个想法是使用代数简化来获得定理成立的 x,k,k'。我相信原理图目标应该可以做到这一点，但我从未使用过它们。

我的想法

我是否可以假设表达式是这种形式，让简化器找到它，以便触发 simproc？

如果我首先开始假设线性形式 x + k*pi + k' * pi/2 那么：

从此组合中提取 x,k,k'。
申请rewriter，获取对应的待改写term 2
按顺序应用：处理 + pi/2 的规则，处理 + 2 pi

Answer 1

我会从简单开始，暂时忽略 pi / 2 部分。

您可能想要构建一个匹配任何形式 sin x 的 simproc。然后你想写一个 conversion 接受那个术语 x（假设它是几个术语的总和）并将它变成 a + of_int b * p 的形式。

转换本质上是一个类型为 cterm → thm 的函数，它采用 cterm ct 和 returns 形式为 ct ≡ … 的定理，即它是一种确定性形式重写（按照惯例，转换也可能因抛出 CTERM 异常而失败）。在 Pure/conv.ML.

中有很多用于构建和使用它们的组合器

这可能有点繁琐。你基本上必须通过这个术语下降，并且对于每个原子（即任何不是 _ + _ 形式的东西）你必须弄清楚它是否可以被带入 of_int … * pi 形式（例如再次通过写一个进行这种转换的转换——为了简单起见，您可以省略这部分，这样您的过程仅在术语已经采用该形式时才有效）然后将 of_int … * pi 形式的所有术语分组到右边，所有使用结合律和交换律向左不是那种形式的项。

我建议这样做：

定义函数SIN_SIMPROC_ATOM x n = x + of_int n * pi
编写一个转换 sin_atom_conv，将 of_int n * pi 重写为 SIN_SIMPROC_ATOM 0 n 并将其他所有内容重写为 SIN_SIMPROC_ATOM x 0
写一个通过 + 下降的转换，将 sin_atom_conv 应用于每个原子，然后应用某种组合规则，如 SIN_SIMPROC_ATOM x1 n1 + SIN_SIMPROC_ATOM x2 n2 = SIN_SIMPROC_ATOM (x1 + x2) (n1 + n2)
最后，您已将整个表单重写为 sin (SIN_SIMPROC_ATOM x n) 表单，然后您可以对其应用一些合适的规则。

我不太清楚如何最好地处理 n 的奇偶校验。您可以重写 sin (SIN_SIMPROC_ATOM x n) = (-1) ^ nat ¦n¦ * sin x 但我不确定在大多数情况下这是否是用户真正想要的。如果您可以静态地推导出 n 的奇偶校验（例如，通过使用简化器）然后直接简化为 sin x 或 -sin x.[=41=，那么这样做可能更有意义]

如果你想包括 π 的一半，情况会变得更加复杂。您当然可以将 SIN_SIMPROC_ATOM 扩展为 π 的一半（以及 π 的两倍，以使其更统一）。或者你可以将它们全部加在一起，这样你就只有一个整数 n 来描述你的 π/2 的倍数，而 k 个 π 的倍数简单地为该项贡献 2k。然后你必须弄清楚 n mod 4 是什么——可能再次使用简化器或一些聪明的静态方法。

在 Isabelle 中使用 simprocs 重写正弦

Rewriting sine using simprocs in Isabelle

isabelle