优化邓恩指数计算？

Question

邓恩指数是一种评估聚类的方法。值越高越好。它的计算方法是最小簇间距离（即任何两个簇质心之间的最小距离）除以最大簇内距离（即任何簇中任意两点之间的最大距离）。

我有一个计算邓恩指数的代码片段：

def dunn_index(pf, cf):
    """
    pf -- all data points
    cf -- cluster centroids
    """
    numerator = inf
    for c in cf: # for each cluster
        for t in cf: # for each cluster
            if t is c: continue # if same cluster, ignore
            numerator = min(numerator, distance(t, c)) # find distance between centroids
    denominator = 0
    for c in cf: # for each cluster
        for p in pf: # for each point
            if p.get_cluster() is not c: continue # if point not in cluster, ignore
            for t in pf: # for each point
                if t.get_cluster() is not c: continue # if point not in cluster, ignore
                if t is p: continue # if same point, ignore
                denominator = max(denominator, distance(t, p))
    return numerator/denominator

问题是速度特别慢：对于一个由 5000 个实例和 15 个集群组成的示例数据集，上面的函数最坏需要执行超过 3.75 亿次距离计算。实际上它要低得多，但即使是最好的情况，数据已经按集群排序，也是大约 2500 万次距离计算。我想节省时间，我已经尝试过直线距离与欧几里得距离，但效果不好。

我该如何改进这个算法？

Answer 1

这不是关于优化算法本身，但我认为以下建议之一可以提高性能。

使用 multiprocessing's pool of workers.
正在提取 python code to c/cpp. Refer to official documentation。

还有Performance Tips on the https://www.python.org.

Answer 2

TLDR: 重要的是，问题设置在二维。对于大尺寸，这些技术可能无效。

在 2D 中，我们可以在 O(n log n) 时间内计算每个簇的直径（簇内距离），其中 n 是使用凸包的簇大小。矢量化用于加速剩余操作。 post末尾提到了两种可能的渐近改进，欢迎投稿；）

设置和假数据：

import numpy as np
from scipy import spatial
from matplotlib import pyplot as plt

# set up fake data
np.random.seed(0)
n_centroids = 1000
centroids = np.random.rand(n_centroids, 2)
cluster_sizes = np.random.randint(1, 1000, size=n_centroids)
# labels from 1 to n_centroids inclusive
labels = np.repeat(np.arange(n_centroids), cluster_sizes) + 1
points = np.zeros((cluster_sizes.sum(), 2))
points[:,0] = np.repeat(centroids[:,0], cluster_sizes)
points[:,1] = np.repeat(centroids[:,1], cluster_sizes)
points += 0.05 * np.random.randn(cluster_sizes.sum(), 2)

看起来有点像这样：

接下来，我们定义一个 diameter 函数来计算最大的簇内距离，基于使用凸包的方法。

# compute the diameter based on convex hull 
def diameter(pts):
  # need at least 3 points to construct the convex hull
  if pts.shape[0] <= 1:
    return 0
  if pts.shape[0] == 2:
    return ((pts[0] - pts[1])**2).sum()
  # two points which are fruthest apart will occur as vertices of the convex hull
  hull = spatial.ConvexHull(pts)
  candidates = pts[spatial.ConvexHull(pts).vertices]
  return spatial.distance_matrix(candidates, candidates).max()

对于邓恩指数计算，我假设我们已经计算了点、聚类标签和聚类质心。

如果集群数量较多，下面基于Pandas的解决方案可能表现良好：

import pandas as pd
def dunn_index_pandas(pts, labels, centroids):
  # O(k n log(n)) with k clusters and n points; better performance with more even clusters
  max_intracluster_dist = pd.DataFrame(pts).groupby(labels).agg(diameter_pandas)[0].max()
  # O(k^2) with k clusters; can be reduced to O(k log(k))
  # get pairwise distances between centroids
  cluster_dmat = spatial.distance_matrix(centroids, centroids)
  # fill diagonal with +inf: ignore zero distance to self in "min" computation
  np.fill_diagonal(cluster_dmat, np.inf)
  min_intercluster_dist = cluster_sizes.min()
  return min_intercluster_dist / max_intracluster_dist

否则，我们可以继续纯 numpy 解决方案。

def dunn_index(pts, labels, centroids):
  # O(k n log(n)) with k clusters and n points; better performance with more even clusters
  max_intracluster_dist = max(diameter(pts[labels==i]) for i in np.unique(labels))
  # O(k^2) with k clusters; can be reduced to O(k log(k))
  # get pairwise distances between centroids
  cluster_dmat = spatial.distance_matrix(centroids, centroids)
  # fill diagonal with +inf: ignore zero distance to self in "min" computation
  np.fill_diagonal(cluster_dmat, np.inf)
  min_intercluster_dist = cluster_sizes.min()
  return min_intercluster_dist / max_intracluster_dist

%time dunn_index(points, labels, centroids)
# returned value 2.15
# in 2.2 seconds
%time dunn_index_pandas(points, labels, centroids)
# returned 2.15
# in 885 ms

对于具有 i.i.d. ~U[1,1000] 个簇大小的 1000 个簇，这需要 2.2。在我的机器上秒。对于此示例（许多小集群），使用 Pandas 方法，这个数字下降到 0.8 秒。

当集群数量很大时，还有两个相关的进一步优化机会：

首先，我使用蛮力 O(k^2) 方法计算最小簇间距离，其中 k 是簇数。正如所讨论的 here，这可以减少到 O(k log(k))。
其次，max(diameter(pts[labels==i]) for i in np.unique(labels)) 需要 k 传递大小为 n 的数组。对于许多集群，这可能成为瓶颈（如本例所示）。 pandas 方法可以稍微缓解这种情况，但我希望可以进一步优化。对于当前参数，大约三分之一的计算时间花费在计算簇内距离的簇间之外。

优化邓恩指数计算？

Optimizing Dunn Index calculation?

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