生成遵循两种不同分布的一个样本

Question

我想在 [0;1000] 区间内随机生成一个大小为 1E4 的样本。但遵循两种不同的分布：一种在 [0;1] 区间内，遵循递增的指数分布，相对于其他接近 0 的值，将生成接近 1 的一组值。然后，在 1/r 分布之后的 [1;1000] 区间内生成样本的第二部分。

我认为更简单的方法是将全局样本分成两个不同的样本。但我不知道如何处理它。我尝试使用 scipy 库的一些分布，但我没有找到正确使用它们来生成我的全局样本的方法。你怎么看？

Answer 1

您可以使用两个单独的分布，但您需要确保样本数量在边界点 (r == 1) 匹配。因此，您需要估计左 (exp) 和右 (1/r) 分布所需的样本数。两个分布的积分如下：

integrate exp(r) from 0 to 1: exp(1) - 1 == 1.7183
integrate 1/r from 1 to 1000: log(1000) == 6.9078

这意味着左分布在 r = 1 的概率是 exp(1) / 1.7183，右分布是 1 / 6.9078。所以这给出了 ratio = left / right = 10.928 的比率。这意味着您需要在右侧间隔中生成比左侧间隔多 ratio 倍的值，以便最终在边界处获得相同数量的样本。假设您想要总共生成 N 个样本，这意味着您需要在左 (exp) 区间内生成 N1 = N / (ratio + 1) 个样本，在右 (1/r) 区间内生成 N2 = N * ratio / (ratio + 1) 个样本。

下面是一些示例代码：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

r_max = 1000.0
integral_1 = np.exp(1.0) - 1.0  # 1.7183
integral_2 = np.log(r_max)      # 6.9078

N = 2_000_000  # total number of samples
ratio = np.exp(1.0) / integral_1 * integral_2  # 10.928
N1 = int(N / (ratio + 1))
N2 = int(N * ratio / (ratio + 1))

# Use inverse transform sampling in the following.
s1 = np.log(integral_1 * np.random.random(size=N1) + 1.0)
s2 = np.exp(integral_2 * np.random.random(size=N2))

samples = np.concatenate((s1, s2))
np.random.shuffle(samples)  # optionally shuffle the samples

plt.hist(samples, bins=int(20 * r_max))
plt.xlim([0, 5])
plt.show()

产生以下分布：

生成遵循两种不同分布的一个样本

Generate one sample following two different distributions

python

probability

python-3.x