负加速度恒加速度运动

Question

我在Unity上制作运动过程。

我想做一个将object移动到指定位置的过程，但是如题所示，我希望object不仅移动，而且到达预定位置速度衰减的距离。

如果加速度是负数，我处理不好。具体来说，我想在初始速度为10时到达一个位置而不回头，如图gif所示。

我用恒加速度运动公式中的“s=v0t+1/2at^2”求出加速度“a”，但这似乎还不够。

如果你能帮助我，我将不胜感激。

public class Test : MonoBehaviour
{
    public float t;
    public float initSpd;
    public Transform t1, t2;

    IEnumerator Start()
    {
        var p = t1.position;
        while (true) {
            t1.position = p;
            var v0t = initSpd * t;
            var distance = Vector2.Distance(t1.position, t2.position);
            var direction = (t2.position - t1.position).normalized;
            var a = (2 * (distance - v0t)) / (t * t);
            var v = initSpd;
            // update
            yield return Utils.Coroutine.WhileForSeconds(t, () =>
            {
                t1.Translate(direction * v * Time.deltaTime);
                v += a * Time.deltaTime;
            });
        }
    }
}

跨度=3，初始速度=0 跨度=3，初始速度=3 跨度=3，初始速度=10

Answer 1

您计算 a 的数学是正确的，但您提出问题的方式无法令您满意。

正如你所说，在加速度恒定的情况下，位置是时间的二次函数，因此描述为

s = b t^2 + c t + d

对于一些常量 b, c, d。 d的值已经被初始位置固定。 c的值已经被初始速度固定。只剩下一个自由参数，当你求解s(finalTime) = goalPosition时，你无法控制得到的抛物线是否超过目标。

可以增加多项式的次数，但总会有一些初速度过大导致超调。

本质上，你有一个最优控制/轨迹优化问题，类似于

  minimize: integral(acceleration(t)^2) from t = 0 to T
subject to: x(0) given
            v(0) given
            x(T) given
            x(t) <= x(T) for all t in [0, T] (assuming x(0) < x(T))

正如你所说的问题，没有优化 objective，但你需要一个成本或对加速度的约束，否则你可以获得无限加速度的解决方案（例如，在第一个真的很难加速时间步长，然后以恒定速度滑行到目标。

不平等使事情变得复杂。如果你想要一个连续时间的解析解，那么 Pontryagin 的原则将是解决它的一把锤子，但可能有更简单的技巧。如果将时间离散化并让加速度分段恒定，那么它就是一个简单的凸优化问题。

如果您愿意放宽“永不超调”和“恰好在此时到达那里”的限制，那么非常简单的解决方案将更好地扩展到外部力量等更复杂的场景，即使用反馈控制像PD控制器一样的规律：

a = kp * vectorToGoal - kd * velocityVector,

其中 kp 和 kd 是手动调整的正常数，并且该表达式在每一帧中都会重新计算。您可以调整 kp 和 kd 以最大限度地减少典型场景中的过冲。

或者，您可以像大多数游戏一样 - 允许速度瞬间改变:)

Answer 2

我找到了通过分两步改变速度实现的理想行为。

    IEnumerator Start()
    {
        var p = t1.position;
        while (true)
        {
            t1.position = p;
            var direction = (t2.position - t1.position).normalized;
            var distance = Vector2.Distance(t1.position, t2.position);

            var v0 = initSpd;
            var M = distance;
            var T = duration;
            var tm = M / v0;
            var vm = v0 / T * tm;
            var accel1 = (vm - v0) / (tm - 0);
            var accel2 = (0 - vm) / (T - tm);
            Debug.Log($"vo={v0}, M={M}, T={T}, tm={tm}, vm={vm}, accel1={accel1}, accel2={accel2}");
            var v = initSpd;
            var stime = Time.time;
            var hist = 0f;
            // update
            yield return Utils.Coroutine.WhileForSeconds(T, () =>
            {
                t1.Translate(direction * v * Time.deltaTime);
                hist += v * Time.deltaTime;
                if (Time.time - stime <= tm)
                    v += accel1 * Time.deltaTime;
                else
                    v += accel2 * Time.deltaTime;
            });
            Debug.Log($"elapsed={Time.time - stime}, moved distance={hist}, v={v}");
        }
    }

负加速度恒加速度运动

Constant acceleration movement with minus acceleration

c#

math

unity3d

game-physics