添加零时出现奇怪的 numpy.sum 行为

Question

我了解数学上等价的算术运算如何由于数值错误（例如，以不同的顺序对浮点数求和）而导致不同的结果。

然而，令我惊讶的是，向 sum 添加零可以改变结果。我认为这始终适用于浮点数，无论如何：x + 0. == x.

这是一个例子。我希望所有的行都恰好为零。谁能解释一下为什么会这样？

M = 4  # number of random values
Z = 4  # number of additional zeros
for i in range(20):
    a = np.random.rand(M)
    b = np.zeros(M+Z)
    b[:M] = a
    print a.sum() - b.sum()

-4.4408920985e-16
0.0
0.0
0.0
4.4408920985e-16
0.0
-4.4408920985e-16
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
2.22044604925e-16
0.0
4.4408920985e-16
4.4408920985e-16
0.0

M 和 Z 的较小值似乎不会发生。

我也确定了a.dtype==b.dtype。

这是另一个示例，它也演示了 python 的内置 sum 的行为符合预期：

a = np.array([0.1,      1.0/3,      1.0/7,      1.0/13, 1.0/23])
b = np.array([0.1, 0.0, 1.0/3, 0.0, 1.0/7, 0.0, 1.0/13, 1.0/23])
print a.sum() - b.sum()
=> -1.11022302463e-16
print sum(a) - sum(b)
=> 0.0

我正在使用 numpy V1.9.2。

Answer 1

简答：您看到了

之间的区别

a + b + c + d

和

(a + b) + (c + d)

由于浮点数不准确，这并不相同。

长答案：Numpy 实现成对求和作为速度（它允许更容易的矢量化）和舍入误差的优化。

可以找到 numpy 求和实现 here（函数 pairwise_sum_@TYPE@）。它基本上执行以下操作：

如果数组长度小于8，则执行常规的for循环求和。这就是为什么如果 W < 4 在您的情况下没有观察到奇怪的结果 - 在两种情况下都将使用相同的 for 循环求和。
如果长度在 8 到 128 之间，它会在 8 个 bin 中累加总和 r[0]-r[7] 然后将它们相加 ((r[0] + r[1]) + (r[2] + r[3])) + ((r[4] + r[5]) + (r[6] + r[7]))。
否则，它递归地对数组的两半求和。

因此，在第一种情况下你得到 a.sum() = a[0] + a[1] + a[2] + a[3]，在第二种情况下你得到 b.sum() = (a[0] + a[1]) + (a[2] + a[3])，这导致 a.sum() - b.sum() != 0.

添加零时出现奇怪的 numpy.sum 行为

Weird numpy.sum behavior when adding zeros

python

numpy

sum

numerical-stability