反射镜角度的解析法

Question

我在3D中有一个space固定的光线Lr和一个可以围绕固定点Mrot旋转的镜子M，这个点不在镜子的同一平面，换句话说，镜子平面与以 Mrot 为中心、半径固定 d 的球体相切。使用该配置，我想找到一个方程式，该方程式接收点 P 作为参数，并随着 3D space.

中镜子的旋转而产生结果

我们可以认为镜像平面是没有边界的（无限平面），它的旋转是无限的。另外，镜子只在其旋转点的另一侧反射。

图中是输入点P1和P2不同的两种情况，分别有解角alpha1和alpha2。图片为2D，简化绘图，真实案例为3D。

此刻我正在计算随机旋转与镜面的交点，然后计算光线反射，看看离我想到达的点（P）有多远。最后迭代一些条件改变旋转直到它匹配。

显然这是一种矫枉过正，但我不知道如何以分析方式对其进行编码。

有什么想法吗？

注意：我注意到，如果镜子围绕其平面中的一个点 (Mrot) 旋转并且光线到达该点 (Mrot)，我可以轻松计算出镜子角度，但不幸的是不是我的案件。

Answer 1

我会把它作为两个独立的平面问题来做（一个在 xy 平面上，第二个在 xz 或 yz 平面上）。我首先想到的是这个迭代过程：

开始
- 镜子以恒定距离围绕 Mrot 转动，形成圆（3D 球体）
- 所以计算 Lr 和球体的第一个交点
- 如果没有找到交点，则在球体上找到离 Lr 最近的点
- 计算 n0 法线为 Lr 和红线从交点到 P
- 这是镜像起始位置
将镜子（水绿色）放置到 n0 角度
- 计算 Lr
- 并计算半角da0这是新迭代的步骤
将 da0 添加到 n0 角度并将镜子放置到这个新的角度位置
- 计算 Lr
- 并计算半角da1这是新迭代的步骤
循环项目符号 3 直到
- da(i)够小
- 达到最大迭代次数

[备注]

这应该比 random/linear 探测
P离镜子越远（或旋转半径越小）收敛越快
不确定这个问题的解析解是否存在它看起来会导致超越系统...

Answer 2

首先注意这里只有一个参数，即光线到达镜子的距离t。

任意测试值t，依次计算

发生反射的点。
入射光线和反射光线的矢量。
镜子的法向量，通过取归一化入射向量和反射向量的平均值得到。连同 1，你现在知道镜子的平面了。
镜子到旋转点的距离d

现在的问题是选择t使d取想要的值。这归结为t中的一个八进制多项式，所以没有解析公式^[1]，唯一的解决办法就是迭代 .^[2]

这是一个代码示例：

vec3 r;   // Ray start position
vec3 v;   // Ray direction
vec3 p;   // Target point
vec3 m;   // Mirror rotation point

double calc_d_from_t(double t)
{
    vec3 reflection_point = r + t * v;
    vec3 incident         = normalize(-v);
    vec3 reflected        = normalize(p - reflection_point);
    vec3 mirror_normal    = normalize(incident + reflected);
    return dot(reflection_point - m, mirror_normal);
}

现在将 calc_d_from_t(t) = d 传递给您最喜欢的根查找器，确保使用 t > 0 找到根。任何像样的求根器（例如 Newton-Raphson）都应该比您当前的方法快得多。

[1] 即涉及算术运算、n 次根和系数的公式。
[2] 除非八进制因式分解相同，否则可能会将问题简化为四次。

反射镜角度的解析法

Analytic method for calculate a mirror angle

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