Eric Lengyel，数学，Plucker 坐标练习

Question

在“Eric Lengyel，游戏引擎开发基础，第 1 卷：数学”的第 3 章，我无法理解，如何解决练习 10（关于“3.5 Plucker 坐标”主题）。

"Let {v|m1} and {v|m2} be parallel lines having the same direction but different moments. Find a formula for the distance d between theese two lines by considering the triangle formed by the origin and the closest point to the origin on each line"

起初对我来说似乎很简单，但经过多次尝试后我不知道从哪里开始。我尝试了不同的方法，但无法得到正确的答案：

d = (| (v x (m2 - m1) |) / (sqr(v))

也许有人知道，有什么问题。谢谢！

Answer 1

Table在那一章（G行）显示“最接近原点的齐次点”为

p = (v x m) / v^2

具有 m1 和 m2 矩的两条线的此类点之间的差异是矢量

diff =  p1-p2 = (v x m1) / v^2 -  (v x m2) / v^2 =  (v x (m1-m2)) / v^2

这个向量的长度是需要的距离，因为Op1和Op2向量垂直于方向v，点O，p1和p2属于一个平面，垂直于直线，属于该平面的diff=p1-p2也垂直于直线，因此它的长度是直线之间的距离。

P.S。 Op1p2 就是问题陈述中提到的三角形

P.P.S

点 p 位于 Pluecker 线上 if

p x v = m

将两部分乘以 v

v x (p x v) = v x m

将左边的部分变换Lagrange identity

p * (v.dot.v) - v * (p.dot.v) = p * v^2 
(because (p.dot.v)== 0 for perpendicular to the line) 
p * v^2 = v x m
p = (v x m) / v^2

Eric Lengyel，数学，Plucker 坐标练习

Eric Lengyel, Mathematics, Plucker Coordinates Exercise

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