旋转矩形直到碰到三角形，并确定交点

Question

• 此问题在 3D 中 space。
• 有一个矩形，由 4 个顶点定义。我们围绕它的一侧旋转它。
• 有一个三角形，由 3 个顶点定义。
• 旋转 360 度后，矩形会 intersect/touch 变成三角形吗？
• 如果是，第一次相交的旋转角度是多少？第一个交叉点的意义是什么？

想了想，主要有3种情况：

• 三角形顶点接触矩形表面
• 三角形表面接触矩形顶点
• 三角形边与矩形边相接

并且有两种不太可能的情况是两者相交时垂直：

• 矩形边碰到三角形面
• 矩形面撞三角形边

然而，识别这些案例并没有真正让我更接近解决方案。我希望有人能为我指出正确的方向来解决这个问题。我想快速解决少量矩形 x 大量三角形的问题。

上下文：我要解决的更大问题是我想在封闭的多边形网格周围包裹一个矩形。我希望通过旋转矩形直到它相交，然后围绕交点旋转剩余的矩形等来逐步完成此操作

Answer 1

当您围绕其中一个边旋转一个矩形时，您会得到一个圆柱体。将每条线与圆柱相交。交点的位置为您提供了旋转角度。由于这没有捕捉到三角形完全包含在圆柱体中的情况，因此测试顶点到圆柱体轴的距离是否也小于圆柱体的半径。

假设你的矩形有顶点 A 到 D。你想绕着边AB旋转。那么你的圆柱体的半径就是 r = |AD|.

首先，transform the coordinates 以便放置矩形时，要围绕 z 轴旋转的边和沿 x 轴旋转的相邻边。

A′ = {M} · A = {0, 0, 0}
B′ = {M} · B = {0, 0, |AB|}
C′ = {M} · C = {r, 0, 0}

对三角形的顶点应用相同的变换{M}。

现在求出三角形所有三边与圆柱体的交点。因为圆柱体与 z 轴对齐，所以问题可以分为两个子问题：(1) 找到与顶面和底面 a z == 0 和 z == |AB| 的任何交点。 (2) 求与圆柱体"coat"的交点；这是 xy 平面中直线与圆的交点。

然后可以用这些点的y和x坐标的正切函数计算旋转角度为atan2(y, x).

如果需要原始坐标中的交点坐标，别忘了撤销变换。