使用 sympy 扩展索引符号方程

Question

下面我有一个用索引符号写的等式。这个方程可以用图中的六个方程来表示。

第一个方程使用索引符号展开（爱因斯坦符号：https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_notation）。在 U_k,k 中，逗号是导数的约定。由于我们有重复的索引 (k,k)，我们应用求和约定并得到 (du_1/dx_1 + du_2/dx_2 + du_3/dx_3)。图中u_1、u_2、u_3分别写为u、v、w，用x_1、x_2、[=29区分=]（x、y 和 z）。

我是 python 和 Sympy 的新手，我看到有一个张量模块，但我看不到 Sympy 中是否已经实现了一些东西，我可以在其中编写第一个方程（带索引）和从中获得其他六个关系。

Answer 1

目前，没有直接的方法来完成您的要求。

我将建议一个应该有效的技巧，方法是使用 IndexedBase（即由其他符号索引的符号），然后进行替换。

声明你的符号：

U = IndexedBase("U")
l = symbols("lambda")
var("mu u v w x y z i j k")

声明你的表达式（没有爱因斯坦求和，所以明确地输入一个Sum）：

sij = l*Sum(U[k, k], (k, 0, 2)) * KroneckerDelta(i, j) + mu*(U[i, j] + U[j, i])

定义一个替换函数：将U[0, 0]匹配到Derivative(u, x)等指数：

def replace_U(uij):
    i1, i2 = uij.indices
    return Derivative([u, v, w][i1], [x, y, z][i2])

现在，运行全部 i，j 索引替换 U[i, j] 首先使用整数值，然后替换 U[0, 0], ...

等表达式

for ii in range(3):
    for ji in range(3):
        if ii < ji:
            continue
        pprint(sij.doit().xreplace({i: ii, j: ji}).replace(lambda v: v.base == U, replace_U))

记住：Sum.doit() 展开求和。条件 ii >= ji 用于避免打印相同的表达式两次（你的等式在 i, j 中是对称的）。

注意上面代码中的U[i,j]只是一个符号，i和j 除了作为 U 的索引外没有特殊意义。替换函数为它们分配导数。

我得到的输出是：

  ⎛d       d       d    ⎞       d    
λ⋅⎜──(u) + ──(v) + ──(w)⎟ + 2⋅μ⋅──(u)
  ⎝dx      dy      dz   ⎠       dx   
  ⎛d       d    ⎞
μ⋅⎜──(u) + ──(v)⎟
  ⎝dy      dx   ⎠
  ⎛d       d       d    ⎞       d    
λ⋅⎜──(u) + ──(v) + ──(w)⎟ + 2⋅μ⋅──(v)
  ⎝dx      dy      dz   ⎠       dy   
  ⎛d       d    ⎞
μ⋅⎜──(u) + ──(w)⎟
  ⎝dz      dx   ⎠
  ⎛d       d    ⎞
μ⋅⎜──(v) + ──(w)⎟
  ⎝dz      dy   ⎠
  ⎛d       d       d    ⎞       d    
λ⋅⎜──(u) + ──(v) + ──(w)⎟ + 2⋅μ⋅──(w)
  ⎝dx      dy      dz   ⎠       dz

I am new to python and Sympy and I saw that there is a tensor module but I could not see if there is something already implemented in Sympy where I can write the first equation (with index) and from that obtain the other six relations.

有sympy.tensor.tensor，支持抽象索引符号（一种受限的爱因斯坦求和）。不幸的是，它不支持衍生品。

如果您想处理组件，最近添加了一个：sympy.tensor.array。它提供了多维数组、张量积和收缩以及数组的导数。

Answer 2

如Francesco Bonazzi stated, there is another way to implement equations using sympy.tensor.array。这种方法的优点是容易实现导数

示例代码（jupyter）如下：

from sympy import *
lam, mu, x, y, z = symbols("lambda mu x y z")
u, v, w = symbols("u v w", cls=Function)
du = derive_by_array([u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)], [x, y, z])
sig = lam * tensorcontraction(du, (0, 1)) * Array(eye(3)) + mu * (du + transpose(du))
for i in range(3):
    for j in range(i, 3):
        display(Eq(Symbol("sigma_{}{}".format(i+1, j+1)), sig[i, j]))

输出：

Answer 3

这是我对这个问题的回答。代码 displays/prints 结果并没有给出错误，因为它是根据索引符号计算的。

欢迎就进一步 (i) 适合科学出版物的优化和打印结果提出意见。目前看起来很别扭。

from sympy import Symbol, Derivative
from sympy import * 
lam, mu, x, y, z = symbols("lambda mu x y z")
u, v, w = symbols("u v w", cls=Function)
du = derive_by_array([u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)], [x, y, z])
sig = lam * tensorcontraction(du, (0, 1))*Array(eye(3))  + mu * (du + transpose(du))
alist = []
for i in range(3):
    for j in range(i, 3):
        alist.append(Eq(Symbol("sigma_{}{}".format(i+1, j+1)), sig[i, j]))
        init_printing()

使用 sympy 扩展索引符号方程

Expand index notation equation using sympy

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