ldexp(1, x) 和 exp2(x) 的区别

Question

似乎如果浮点表示的基数为 2（即 FLT_RADIX == 2），std::ldexp(1, x) 和 std::exp2(x) 都会将 2 提高到给定的幂 x.

标准是否定义或提及它们之间任何预期的行为 and/or 性能差异？不同编译器的实际经验是什么？

Answer 1

exp2(x) 和 ldexp(x,i) 执行两种不同的操作。前者计算2^x，其中x是一个浮点数，而后者计算x*2ⁱ，其中 i 是一个整数。对于 x、exp2(x) 和 ldexp(1,int(x)) 的整数值将是等效的，前提是 x 到整数的转换不会溢出。

关于这两个功能的相对效率的问题没有明确的答案。这将取决于硬件平台的功能和库实现的细节。虽然从概念上讲，ldexpf() 看起来像是对浮点操作数的指数部分的简单操作，但实际上比这要复杂一点，一旦考虑到通过非正规化的溢出和逐渐下溢。后一种情况涉及浮点数的有效数字（尾数）部分的舍入。

由于 ldexp() 通常是一个不常用的函数，根据我的经验，与其他数学函数相比，数学库作者对其应用的优化工作更少。

在某些平台上，ldexp() 或它的更快（自定义）版本将用作 exp2() 软件实现中的构建块。以下代码为 float 个参数提供了此方法的示例性实现：

#include <cmath>

/* Compute exponential base 2. Maximum ulp error = 0.86770 */
float my_exp2f (float a)
{
    const float cvt = 12582912.0f; // 0x1.8p23
    const float large = 1.70141184e38f; // 0x1.0p127
    float f, r;
    int i;

    // exp2(a) = exp2(i + f); i = rint (a)
    r = (a + cvt) - cvt;
    f = a - r;
    i = (int)r;
    // approximate exp2(f) on interval [-0.5,+0.5]
    r =             1.53720379e-4f;  // 0x1.426000p-13f
    r = fmaf (r, f, 1.33903872e-3f); // 0x1.5f055ep-10f
    r = fmaf (r, f, 9.61817801e-3f); // 0x1.3b2b20p-07f
    r = fmaf (r, f, 5.55036031e-2f); // 0x1.c6af7ep-05f
    r = fmaf (r, f, 2.40226522e-1f); // 0x1.ebfbe2p-03f
    r = fmaf (r, f, 6.93147182e-1f); // 0x1.62e430p-01f
    r = fmaf (r, f, 1.00000000e+0f); // 0x1.000000p+00f
    // exp2(a) = 2**i * exp2(f);
    r = ldexpf (r, i);
    if (!(fabsf (a) < 150.0f)) {
        r = a + a; // handle NaNs
        if (a < 0.0f) r = 0.0f;
        if (a > 0.0f) r = large * large; // + INF
    }
    return r;
}

大多数 exp2() 的实际实现不会调用 ldexp()，而是调用自定义版本，例如当支持整数和浮点数据之间的快速按位传输时，此处表示通过内部函数 __float_as_int() 和 __int_as_float() 将 IEEE-754 binary32 重新解释为 int32，反之亦然：

/* For a in [0.5, 4), compute a * 2**i, -250 < i < 250 */
float fast_ldexpf (float a, int i)
{
    int ia = (i << 23) + __float_as_int (a); // scale by 2**i
    a = __int_as_float (ia);
    if ((unsigned int)(i + 125) > 250) { // |i| > 125
        i = (i ^ (125 << 23)) - i; // ((i < 0) ? -125 : 125) << 23
        a = __int_as_float (ia - i); // scale by 2**(+/-125)
        a = a * __int_as_float ((127 << 23) + i); // scale by 2**(+/-(i%125))
    }
    return a;
}

在其他平台上，硬件提供 exp2() 的单精度版本作为快速硬件指令。在处理器内部，这些通常通过使用线性或二次插值的 table 查找来实现。在这样的硬件平台上，ldexp(float)可以根据exp2(float)来实现，例如：

float my_ldexpf (float x, int i)
{
    float r, fi, fh, fq, t;

    fi = (float)i;
    /* NaN, Inf, zero require argument pass-through per ISO standard */
    if (!(fabsf (x) <= 3.40282347e+38f) || (x == 0.0f) || (i == 0)) {
        r = x;
    } else if (abs (i) <= 126) {
        r = x * exp2f (fi);
    } else if (abs (i) <= 252) {
        fh = (float)(i / 2);
        r = x * exp2f (fh) * exp2f (fi - fh);
    } else {
        fq = (float)(i / 4);
        t = exp2f (fq);
        r = x * t * t * t * exp2f (fi - 3.0f * fq);
    }
    return r;

}

最后，有些平台基本上在硬件上同时提供 exp2() 和 ldexp() 功能，例如 x86 处理器上的 x87 指令 F2XM1 和 FSCALE。

ldexp(1, x) 和 exp2(x) 的区别

Difference between ldexp(1, x) and exp2(x)

c++

floating-point

std

cmath

c++11