使用 C 计算 sin 的麦克劳林级数

Question

我写了一个代码来使用它的麦克劳林级数计算 sin 并且它有效但是当我尝试计算它以获得大的 x 值并尝试通过给出一个大阶数 N（总和的长度）来抵消它时 - 最终它溢出并且没有给我正确的结果。这是代码，我想知道是否有其他方法可以优化它，因此它也适用于大的 x 值（它已经适用于小的 x 值和非常大的 N 值）。这是代码：

long double calcMaclaurinPolynom(double x, int N){
    long double result = 0;
    long double atzeretCounter = 2;
    int sign = 1;
    long double fraction = x;

    for (int i = 0; i <= N; i++)
    {
        result += sign*fraction;
        sign = sign*(-1);
        fraction = fraction*((x*x) / ((atzeretCounter)*(atzeretCounter + 1)));
        atzeretCounter += 2;

    }
    return result;
}

Answer 1

您可以通过将符号变量合并到 fraction 更新中来避免符号变量，如 (-x*x).

使用您的算法，您不会遇到阶乘中整数溢出的问题。

一旦 x*x < (2*k)*(2*k+1) 错误 - 假设精确评估 - 受 abs(fraction) 限制，即系列中下一项的大小。

对于大 x 最大的错误来源是截断 resp。通过取消交替系列的条款放大的浮点错误。对于 k 大约 x/2，第 k 个项周围的项具有最大的大小，必须被其他大项抵消。

减半平方

在不使用 pi 值的情况下处理大 x 的一种简单方法是使用三角定理，其中

sin(2*x)=2*sin(x)*cos(x)
cos(2*x)=2*cos(x)^2-1=cos(x)^2-sin(x)^2

并首先将 x 减半，同时计算 sin(x/2^n) 和 cos(x/2^n) 的麦克劳林级数，然后使用三角平方（字面平方作为复数 cos(x)+i*sin(x)）恢复原始参数的值。

cos(x/2^(n-1)) = cos(x/2^n)^2-sin(x/2^n)^2
sin(x/2^(n-1)) = 2*sin(x/2^n)*cos(x/2^n)

然后

cos(x/2^(n-2)) = cos(x/2^(n-1))^2-sin(x/2^(n-1))^2
sin(x/2^(n-2)) = 2*sin(x/2^(n-1))*cos(x/2^(n-1))

等等

见同时计算sin和cos值，然后用

封装

def CosSinForLargerX(x,n):
    k=0
    while abs(x)>1:
        k+=1; x/=2
    c,s = getCosSin(x,n)
    r2=0
    for i in range(k):
        s2=s*s; c2=c*c; r2=s2+c2
        s = 2*c*s
        c = c2-s2
    return c/r2,s/r2

Answer 2

主要问题是使用超出收敛范围的级数。

正如 OP 所说 "converted x to radX = (x*PI)/180" 表示 OP 以度数而不是弧度开始，OP 很幸运。找到 my_sin(x) 的第一步是缩小范围。当以度数开始时，减少是准确的。所以在转换为弧度之前减小范围。

long double calcMaclaurinPolynom(double x /* degrees */, int N){ // Reduce to range -360 to 360 // This reduction is exact, no round-off error x = fmod(x, 360); // Reduce to range -180 to 180 if (x >= 180) { x -= 180; x = -x; } else if (x <= -180) { x += 180; x = -x; } // Reduce to range -90 to 90 if (x >= 90) { x = 180 - x; } else if (x <= -90) { x = -180 - x; } //now convert to radians. x = x*PI/180; // continue with regular code

或者，如果使用 C11，请使用 remquo()。在 SO 中搜索示例代码。

正如@user3386109 上面评论的那样，不需要"convert back to degrees"。

[编辑]

对于典型的求和级数，首先对最不重要的项求和可以提高答案的精度。使用 OP 的代码，这可以用
完成
for (int i = N; i >= 0; i--)

或者，不是迭代固定次数，而是循环直到该项对总和没有意义。下面使用递归首先对最低有效项求和。在 -90 到 90 范围内减少范围，迭代次数并不过分。

static double sin_d_helper(double term, double xx, unsigned i) { if (1.0 + term == 1.0) return term; return term - sin_d_helper(term * xx / ((i + 1) * (i + 2)), xx, i + 2); } #include <math.h> double sin_d(double x_degrees) { // range reduction and d --> r conversion from above double x_radians = ... return x_radians * sin_d_helper(1.0, x_radians * x_radians, 1); }

使用 C 计算 sin 的麦克劳林级数

Calculate maclaurin series for sin using C

c

math

floating-point

减半平方