Python 中高斯和洛伦兹函数的 FFT

Question

我需要计算高斯函数和洛伦兹函数的傅里叶变换并绘制结果。我知道两者的结果，但我似乎无法正确理解它们，而且我不太了解 fft 在 Python...

中的工作原理

这就是我到目前为止的洛伦兹函数

import numpy as np
from scipy import fftpack
import matplotlib.pyplot as plt

a = 1.0
N = 500 #number of points
x = np.linspace(-5,5,N)
lorentz = (a/np.pi) * (1/(a**2 + x**2)) #lorentzian function

fourier = fftpack.rfft(lorentz)

fourier = (2 * np.pi**2 / N)* abs(fourier[0:N/4]) #supposed to normalize

plt.plot(fourier)
plt.show()

我真的迷失了。我应该得到类似 exp(-pi|k|) 的东西，我不知道我应该用它做什么才能使它看起来更像我想要的。

Answer 1

fft() 函数没有给出您期望的结果的原因有很多：

首先，fft() 函数只计算离散傅里叶变换，它被定义为对有限数量的规则间隔点的求和，并且隐含地需要一个周期函数。连续时间傅里叶变换被定义为无限时间范围内的积分，而不假设信号是周期性的。
其次，您定义洛伦兹时间序列的方式有效地使其以远离原点的时间为中心。这将为所有傅立叶系数引入相位旋转（这可能就是为什么您在生成绘图之前采用绝对值的原因？）。

如果您采用足够多的样本点，并充分扩展输入波形的时间范围，我相信您确实应该收敛到 "correct" 答案，例如由 contour integration 获得。例如，如果您使用

x = numpy.linspace(-50, 50, 5000)

你得到一个看起来更像的离散傅里叶变换：

Python 中高斯和洛伦兹函数的 FFT

FFT of Gaussian and Lorentzian functions in Python

python

fft

scipy