如何在欠定的线性方程组中找到 "partial" 解？
How to find "partial" solutions in a underdetermined system of linear equations?
假设我有这个矩阵：
1 1 1 | 1
0 0 1 | 1
这个系统显然有无限解。
x1 = -x2
x3 = 1
x1 依赖于 x2，x2 是免费的，但我感兴趣的是 x3。
是否有一种算法可以找到如下所示的解决方案：[NaN, NaN, 1] for x1, x2 and x3?
我的猜测是您可以使用高斯消除算法的变体，但我不太确定该怎么做。
我假设一个系统至少有一个解决方案（您可以使用标准高斯消去法来检查它）。
引理：当且仅当它是简化行阶梯形式的行中的唯一变量时，变量的值是固定的。
证明：
如果它是行中唯一的变量，则对于齐次系统的任何解，它都必须为零。因此，它是原始系统的常数。
如果它不是行中的唯一变量，则其值不固定。事实上，行中的另一个变量是自由的，所以我们可以任意选择它的值。这个自由变量的两个不同选择给出了主变量的两个不同值。
所以最终的解决方案是这样的：
使用高斯消元得到矩阵的简化行阶梯形式。
检查是否至少有一种解决方案。如果没有return东西。
Return 如果变量是行中唯一的变量，则包含变量值的向量，否则 Nan。
在你的例子中，简化的梯形形式是：
1 1 0 0
0 0 1 1
最后一个变量具有唯一值 1。第二个变量是自由的。第一个变量不是其所在行中的唯一变量。因此，结果是 [Nan, Nan, 3].
假设我有这个矩阵：
1 1 1 | 1
0 0 1 | 1
这个系统显然有无限解。
x1 = -x2
x3 = 1
x1 依赖于 x2，x2 是免费的，但我感兴趣的是 x3。 是否有一种算法可以找到如下所示的解决方案：[NaN, NaN, 1] for x1, x2 and x3?
我的猜测是您可以使用高斯消除算法的变体，但我不太确定该怎么做。
我假设一个系统至少有一个解决方案（您可以使用标准高斯消去法来检查它）。
引理：当且仅当它是简化行阶梯形式的行中的唯一变量时，变量的值是固定的。
证明： 如果它是行中唯一的变量，则对于齐次系统的任何解，它都必须为零。因此，它是原始系统的常数。
如果它不是行中的唯一变量，则其值不固定。事实上，行中的另一个变量是自由的，所以我们可以任意选择它的值。这个自由变量的两个不同选择给出了主变量的两个不同值。
所以最终的解决方案是这样的：
使用高斯消元得到矩阵的简化行阶梯形式。
检查是否至少有一种解决方案。如果没有return东西。
Return 如果变量是行中唯一的变量，则包含变量值的向量，否则
Nan。
在你的例子中，简化的梯形形式是：
1 1 0 0
0 0 1 1
最后一个变量具有唯一值 1。第二个变量是自由的。第一个变量不是其所在行中的唯一变量。因此，结果是 [Nan, Nan, 3].