使用整数值及其最大值

Question

The code fragment

int x = < an integer value >;
System.out.println(x*x);

displays -131071. Which of the following is a possible value of x?

显然答案是 2^16 - 1。

我什至不知道那是一个怎样的答案选择。没有计算器我怎么解决这个问题？

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The statement

System.out.println(Integer.MAX_VALUE);

prints 2147483647, which is equal to 2^31 - 1. What does the following statement print?

System.out.println(Integer.MAX_VALUE + 2);

答案是-2137483546。我很困惑，因为我们要越界，所以它不应该导致 ArithmeticException 吗？

我问这些问题不是让你帮我做的吗？如果你能给我推理而不仅仅是答案（我已经有了）？我只是对使用 ints 接近最大值的操作感到困惑。

Answer 1

我会以更有用的形式写 -131071：0xfffe0001

现在只需解决x * x == 0xfffe0001。显然 x 是奇数，否则它的平方永远不会是奇数。这个论点可以更进一步：模 2¹⁶ 我们得到 x * x = 1，所以 x 是 1 或 -1 模 2¹⁶ 因为它们是 1 的唯一平方根。

所以低16位只有两个选择，高16位呢？

首先让我们为低 16 位尝试 0xffff（又名 -1 模 2¹⁶）。那（即高 16 位为零）立即证明有效，但 "by calculation" 一个无聊的理由。这是一个更好的理由：原始数字是 2³²-2¹⁷+1（从其十六进制表示中很容易看出），这会影响 (2 ¹⁶-1)²，照常做"reverse square"，所以2³²是 a², -2¹⁷ = 2ab 和 1 = b².

但这只是一种可能，还有更多：

• 0x0000ffff = 2¹⁶-1
• 0x8000ffff = 2³¹+2¹⁶-1（2³¹抵消 如果你平方）

还记得低 16 位怎么会是 1 吗？这也给出了 2 种可能性：

• 0x7fff0001
• 0xffff0001

shouldn't it cause an ArithmeticException since we're going out of bounds?

没有使用标准的换行算法，但请参阅 Math.multiplyExact 和朋友。在正常的运算符中，/ 和 % 可以抛出，其他的还好安全。