R中随机指数相关矩阵的Cholesky分解

Question

我有一组使用以下代码创建的指数相关矩阵。

x=runif(n)
R=matrix(0,n,n)  
for (j in 1:n)
{
  for(k in 1:n)
  {
    R[j,k]=exp(-(x[j]-x[k])^2);
  }
}

现在我想得到他们的 Cholesky 分解。但其中许多是负定的。我该如何解决这个问题？

Answer 1

空间或时间建模中使用的指数相关矩阵，有一个控制衰减速度的因子alpha：

exp(- alpha * (x[i] - x[j]) ^ 2))

您已将此系数固定为 1。但实际上，此系数是根据数据估算的。

请注意，alpha 是确保数值正定性所必需的。该矩阵原则上是正定的，但如果 alpha 不足以快速衰减，则在数值上不是。

鉴于 x <- runif(n, 0, 1)，x[i] 和 x[j] 之间的距离聚集在一个短范围内 [0, 1]。这不是一个很大的范围，可以看出相关性的衰减，也许你想尝试 alpha = 10000.

或者，如果您想留在 alpha = 1，则需要拉开距离。尝试 x <- runif(n, 0, 100)。衰减非常快，即使 alpha = 1.

所以我们看到了距离和 alpha 之间的二元性。这也是为什么这种相关矩阵可以稳定地用于统计建模的原因。在估计alpha的时候，可以做成距离自适应，这样相关矩阵总是正定的。

示例：

f <- function (xi, xj, alpha) exp(- alpha * (xi - xj) ^ 2)

n <- 100

# large alpha, small distance
x <- runif(n, 0, 1)
A <- outer(x, x, f, alpha = 10000)
R <- chol(A)

# small alpha, large distance
x <- runif(n, 0, 100)
A <- outer(x, x, f, alpha = 1)
R <- chol(A)

Answer 2

尝试用它来构造正负矩阵

A<-matrix(runif(n^2),n,n)
dim(A)
A<-A%*%t(A)
chol(A)

R中随机指数相关矩阵的Cholesky分解

Cholesky Decomposition of a random exponential correlation matrix in R

statistics

r

matrix

correlation

matrix-factorization