为什么在执行逆离散傅立叶变换时将索引视为连续变量不起作用？
Why does treating the index as a continuous variable not work when performing an inverse discrete Fourier transform?
我有一组点描述复平面中的一条闭合曲线，称之为Z = [z_1, ..., z_N]。我想对这条曲线进行插值，因为它是周期性的，三角插值似乎是一个自然的选择（特别是因为它提高了精度）。通过执行FFT，我们得到傅立叶系数：
F = fft(Z);
此时，我们可以通过公式得到Z（其中1i是虚数单位，我们使用(k-1)*(n-1)，因为MATLAB索引从1开始）
N
Z(n) = (1/N) sum F(k)*exp( 1i*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= n <= N.
k=1
我的问题
为什么 n 必须是整数？据推测，如果我们将 n 视为 1 和 N 之间的任何实数，我们只会在插值曲线上得到更多的点。 是这样吗？比如我们想把点数翻倍，可以不设置
N
Z_new(n) = (1/N) sum F(k)*exp( 1i*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), with n = 1, 1.5, 2, 2.5, ..., N-1, N-0.5, N
k=1
?
新点当然会出现一些插值误差，但它们会相当准确，对吧？ 我问这个问题的原因是这个方法对我不起作用。当我尝试这样做时，我得到了一堆乱七八糟的点，毫无意义。
（顺便说一句，我知道我可以使用 interpft() 命令，但我只想在曲线的某些区域添加点，例如 z_a 和 z_b)
重点是当 n 是整数时，您有一些正交的主要函数，可以作为 space 的基础。当 n 不是整数时， 式中的指数函数不正交。因此，基于这些非正交基的函数表达式并没有您预期的那么有意义。
对于正交情况，您可以看到以下示例（来自 here）。可以查，有两个n_1和n_2不是整数，后面的积分不再为零，不正交。
我有一组点描述复平面中的一条闭合曲线，称之为Z = [z_1, ..., z_N]。我想对这条曲线进行插值，因为它是周期性的，三角插值似乎是一个自然的选择（特别是因为它提高了精度）。通过执行FFT，我们得到傅立叶系数：
F = fft(Z);
此时，我们可以通过公式得到Z（其中1i是虚数单位，我们使用(k-1)*(n-1)，因为MATLAB索引从1开始）
N
Z(n) = (1/N) sum F(k)*exp( 1i*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= n <= N.
k=1
我的问题
为什么 n 必须是整数？据推测，如果我们将 n 视为 1 和 N 之间的任何实数，我们只会在插值曲线上得到更多的点。 是这样吗？比如我们想把点数翻倍，可以不设置
N
Z_new(n) = (1/N) sum F(k)*exp( 1i*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), with n = 1, 1.5, 2, 2.5, ..., N-1, N-0.5, N
k=1
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新点当然会出现一些插值误差，但它们会相当准确，对吧？ 我问这个问题的原因是这个方法对我不起作用。当我尝试这样做时，我得到了一堆乱七八糟的点，毫无意义。
（顺便说一句，我知道我可以使用 interpft() 命令，但我只想在曲线的某些区域添加点，例如 z_a 和 z_b)
重点是当 n 是整数时，您有一些正交的主要函数，可以作为 space 的基础。当 n 不是整数时， 式中的指数函数不正交。因此，基于这些非正交基的函数表达式并没有您预期的那么有意义。
对于正交情况，您可以看到以下示例（来自 here）。可以查，有两个n_1和n_2不是整数，后面的积分不再为零，不正交。