如何在不溢出的情况下对另一个数字进行算术模运算？

Question

我正在尝试为 Rust 的 u32 和 u64 数据类型实施快速素数测试。作为其中的一部分，我需要计算 (n*n)%d，其中 n 和 d 分别是 u32（或 u64）。

虽然结果很容易符合数据类型，但我不知道如何计算它。据我所知，没有处理器原语。

对于 u32 我们可以伪造它——向上转换为 u64，这样乘积就不会溢出，然后取模，然后向下转换为 u32 ，知道这不会溢出。但是，由于我没有 u128 数据类型（据我所知），此技巧不适用于 u64.

所以对于 u64，我能想到的最明显的方法是计算 x*y 以获得一对 (carry, product) of u64，所以我们捕获溢出量而不是仅仅丢失它（或恐慌，或其他）。

有办法吗？或者其他解决问题的标准方法？

Answer 1

使用简单的数学：

(n*n)%d = (n%d)*(n%d)%d

为了证明这是真的，设置 n = k*d+r:

n*n%d = k**2*d**2+2*k*d*r+r**2 %d = r**2%d = (n%d)*(n%d)%d

Answer 2

。下面是计算两个相乘数的模数的 Rust 代码，摘自维基百科：

fn mul_mod(mut x: u64, mut y: u64, m: u64) -> u64 {
    let mut d = 0_u64;
    let mp2 = m >> 1;
    x %= m;
    y %= m;

    for _ in 0..64 {
        d = if d > mp2 {
            (d << 1) - m
        } else {
            d << 1
        };
        if x & 0x8000_0000_0000_0000_u64 != 0 {
            d += y;
        }
        if d > m {
            d -= m;
        }
        x <<= 1;
    }
    d
}

Answer 3

Richard Rast Wikipedia 版本仅适用于 63 位整数。我扩展了 Boiethios 提供的代码以处理所有 64 位无符号整数。

fn mul_mod64(mut x: u64, mut y: u64, m: u64) -> u64 {
    let msb = 0x8000_0000_0000_0000;
    let mut d = 0;
    let mp2 = m >> 1;
    x %= m;
    y %= m;

    if m & msb == 0 {
        for _ in 0..64 {
            d = if d > mp2 {
                (d << 1) - m
            } else {
                d << 1
            };
            if x & msb != 0 {
                d += y;
            }
            if d >= m {
                d -= m;
            }
            x <<= 1;
        }
        d
    } else {
        for _ in 0..64 {
            d = if d > mp2 {
                d.wrapping_shl(1).wrapping_sub(m)
            } else {
                // the case d == m && x == 0 is taken care of 
                // after the end of the loop
                d << 1
            };
            if x & msb != 0 {
                let (mut d1, overflow) = d.overflowing_add(y);
                if overflow {
                    d1 = d1.wrapping_sub(m);
                }
                d = if d1 >= m { d1 - m } else { d1 };
            }
            x <<= 1;
        }
        if d >= m { d - m } else { d }
    }
}

#[test]
fn test_mul_mod64() {
    let half = 1 << 16;
    let max = std::u64::MAX;

    assert_eq!(mul_mod64(0, 0, 2), 0);
    assert_eq!(mul_mod64(1, 0, 2), 0);
    assert_eq!(mul_mod64(0, 1, 2), 0);
    assert_eq!(mul_mod64(1, 1, 2), 1);
    assert_eq!(mul_mod64(42, 1, 2), 0);
    assert_eq!(mul_mod64(1, 42, 2), 0);
    assert_eq!(mul_mod64(42, 42, 2), 0);
    assert_eq!(mul_mod64(42, 42, 42), 0);
    assert_eq!(mul_mod64(42, 42, 41), 1);
    assert_eq!(mul_mod64(1239876, 2948635, 234897), 163320);

    assert_eq!(mul_mod64(1239876, 2948635, half), 18476);
    assert_eq!(mul_mod64(half, half, half), 0);
    assert_eq!(mul_mod64(half+1, half+1, half), 1);

    assert_eq!(mul_mod64(max, max, max), 0);
    assert_eq!(mul_mod64(1239876, 2948635, max), 3655941769260);
    assert_eq!(mul_mod64(1239876, max, max), 0);
    assert_eq!(mul_mod64(1239876, max-1, max), max-1239876);
    assert_eq!(mul_mod64(max, 2948635, max), 0);
    assert_eq!(mul_mod64(max-1, 2948635, max), max-2948635);
    assert_eq!(mul_mod64(max-1, max-1, max), 1);
    assert_eq!(mul_mod64(2, max/2, max-1), 0);
}

Answer 4

这是另一种方法（现在有 u128 数据类型）：

fn mul_mod(a: u64, b: u64, m: u64) -> u64 {
    let (a, b, m) = (a as u128, b as u128, m as u128);
    ((a * b) % m) as u64
}

这种方法仅依赖于 LLVM 的 128 位整数算法。

我喜欢这个版本的一点是，它真的很容易让自己相信该解决方案对整个域都是正确的。由于 a 和 b 是 u64 产品保证适合 u128，并且由于 m 是 u64最后保证安全

我不知道与其他方法相比性能如何，但如果它显着变慢，我会感到非常惊讶。如果您真的关心性能，您会想要运行一些基准测试，并在任何情况下尝试一些替代方案。

如何在不溢出的情况下对另一个数字进行算术模运算？

How to do arithmetic modulo another number, without overflow?

integer-overflow

rust

integer-arithmetic

modular-arithmetic