Idris

Question

我正在学习 Idris，作为个人练习，我想实现一个 Primes 类型，由所有素数组成。

在 idris 中有没有一种方法可以从一个类型和一个属性开始定义一个新类型，这将 select 属性起始类型的所有元素成立吗？就我而言，有没有办法将 Primes 定义为 Nat 的集合，使得 n <= p and n|p => n=1 or n=p?

如果这不可能，我是否应该定义素数，使用某种筛子归纳构造它们？

Answer 1

我喜欢 copumpkin's Agda definition of Prime，它在 Idris 中看起来像这样：

data Divides : Nat -> Nat -> Type where
  MkDivides : (q : Nat) ->
              n = q * S m ->
              Divides (S m) n

data Prime : Nat -> Type where
  MkPrime : GT p 1 ->
            ((d : Nat) -> Divides d p -> Either (d = 1) (d = p))
            -> Prime p

读作 "if p is divisible by d, then d must be 1 or p" - 素数的通用定义。

用数字手工证明这一点可能非常乏味：

p2' : (d : Nat) -> Divides d 2 -> Either (d = 1) (d = 2)
p2' Z (MkDivides _ _) impossible
p2' (S Z) (MkDivides Z Refl) impossible
p2' (S Z) (MkDivides (S Z) Refl) impossible
p2' (S Z) (MkDivides (S (S Z)) Refl) = Left Refl
p2' (S Z) (MkDivides (S (S (S _))) Refl) impossible
p2' (S (S Z)) (MkDivides Z Refl) impossible
p2' (S (S Z)) (MkDivides (S Z) Refl) = Right Refl
p2' (S (S Z)) (MkDivides (S (S _)) Refl) impossible
p2' (S (S (S _))) (MkDivides Z Refl) impossible
p2' (S (S (S _))) (MkDivides (S _) Refl) impossible

p2 : Prime 2
p2 = MkPrime (LTESucc (LTESucc LTEZero)) p2'

为此编写一个决策程序也很复杂。那将是一个很大的练习！您可能会发现其余的定义对此很有用：

https://gist.github.com/copumpkin/1286093

Idris - 定义素数类型

Idris - Define a primes type

primes