使用 Numpy 和奈奎斯特频率的 FFT 导数

Question

我无法理解 Numpy 关于奈奎斯特频率的行为。考虑以下示例：

import numpy as np
x=np.linspace(0, 2*np.pi, 21)[:-1]
k=np.fft.rfftfreq(len(x), d=x[1]-x[0])

FFT=np.fft.rfft(x)

x1=np.fft.irfft(1j*k*FFT)
FFT[-1]+=1e5
x2=np.fft.irfft(1j*k*FFT)

print(np.allclose(x1,x2))

打印 True。所以显然我在 FFT 中用奈奎斯特频率做什么并不重要，结果总是一样的，变化被忽略了。奇怪的是，当试图恢复函数（没有推导）时，这不会发生：

x1=np.fft.irfft(FFT)
FFT[-1]+=1e5
x2=np.fft.irfft(FFT)

print(np.allclose(x1,x2))

打印 False.

我可能误解了这里的奈奎斯特频率（维基百科和其他来源不是很有帮助）但是这两个结果难道不应该受到奈奎斯特频率变化的影响吗？我能找到的最接近的解释是奈奎斯特频率应该是一个实数，但似乎仍然不能解释这两种行为。

我问这个问题的原因是因为我试图从 Fortran code 中重现我知道正确的结果，该 Fortran code 确实对奈奎斯特频率做了一些微分。我的结果总是大约 1% 的折扣，我猜这是罪魁祸首。

Answer 1

np.fft.rfft()中的r表示您在真实输入上使用DFT。但如果那不是 True，您将得到 意外的 行为，就像这样。只需对复数值使用 fft 函数。作为旁注，请始终尝试检查您的数据。

EDIT（补充说明）：

特别是，当您计算 "DFT for real inputs" 时，您正在对数据强制执行某些属性，即实值函数的 (D)FT，意味着 (D)FT 变换是 Hermitian 对称的，因此，负 (D)FT 系数是多余的，因此 rfft 和后来的 irfft 针对此假设下的计算进行了优化。有关详细信息，请参阅他们的文档 np.fft.rfft() and np.fft.irfft()。

简而言之，由于这种预期的奇偶校验，np.fft.rfft() 不会计算你的一半系数（负系数），并且由于 (D)FT 变换的奇偶校验，第一个分量是纯实数（根据定义）最后一个组件也是纯真实的（为方便起见）。由于 1j 乘法，在随后的 irfft 调用中，纯实数现在变成纯虚数（反之亦然）。由于 irfft() 将忽略第一个和最后一个分量的虚部，因此您的语句不会影响其结果。

使用 Numpy 和奈奎斯特频率的 FFT 导数

FFT derivatives using Numpy and the Nyquist frequency

python

numpy

fft