如何规范化 numpy（实数）傅里叶变换的频谱，以便应用 parseval 定理？

Question

目前，我正在考虑拍摄图像及其光谱。现在 Parceval 的定理说两者应该具有相等的能量。但是，当我尝试在某些图像上对此进行测试时，numpy 真实 FFT 函数似乎并非如此。

这是我用于测试的代码：

import numpy as np
from PIL import Image

im = np.array(Image.open('/images/building.jpeg'))
spectral_im = np.fft.rfft2(im, axes = (0,1), norm = 'ortho')

def getNorm(im):
    return np.sum(np.abs(im))

print('Norm of the image: %d' % getNorm(im))
print('Norm of the spectrum of the image: %f' % getNorm(spectral_im))
print('Difference between norms: %f' % (getNorm(im) - getNorm(spectral_im)))

我预计每张图像的规范之间的差异（大约）为 0，但是我尝试过的每张图像都相差一个数量级。谁能看出我做错了什么？

在答案的帮助下，这是更正后的代码（注意额外转换为 float64，否则它们仍然不相等）：

import numpy as np
from PIL import Image

im = np.array(Image.open('/images/building.jpeg')).astype('float64')
spectral_im = np.fft.fft2(im, axes = (0,1), norm = 'ortho')

def getNorm(im):
    return np.sum(np.abs(im) ** 2)

print('Norm of the image: %d' % getNorm(im))
print('Norm of the spectrum of the image: %f' % getNorm(spectral_im))
print('Difference between norms: %f' % (getNorm(im) - getNorm(spectral_im)))

Answer 1

Parceval 定理指出信号的平方上的积分与傅里叶变换相同。所以getNorm函数应该定义为

def getNorm(im):
    return np.sum(np.abs(im)**2)

然后是FFT归一化问题。您需要通过图像区域（尺寸的乘积）对 FFT 进行归一化：

x = np.random.rand(321, 456)
f = np.fft.fft2(x) / np.sqrt(321 * 456)
print(np.sum(np.abs(x)**2))  # 48654.563992061871
print(np.sum(np.abs(f)**2))  # 48654.563992061878

最后，不要用rfft来验证Parceval定理。 rfft 的问题在于它知道频谱是对称的，因此它会跳过负半部分。但是，积分（总和）中缺少这一半。这听起来好像应该偏离 2 倍，但事实并非如此，因为 DC（均值）分量被 rfft 完全保留（可以找到更多详细信息） .最好使用普通的 FFT (fft2)，省去一些麻烦。

Answer 2

与 Parceval 定理中使用的形式相比，标准前向 FFT 有一个额外的因子 sqrt(N)。考虑到这一点会使事情按预期进行：

x = np.random.rand(200, 100)
f = np.fft.fft2(x)
np.allclose(np.sum(x ** 2),
            np.sum(abs(f) ** 2 / x.size))
# True

如何规范化 numpy（实数）傅里叶变换的频谱，以便应用 parseval 定理？

How to normalize the spectrum of a numpy (real) fourier transform so that parcevals theorem applies?

python

numpy

fft