为什么某些浮点计算会按照它们的方式进行？ （例如 123456789f +1 = 123456792）
Why do certain floating point calculations turn the way they do? (e.g. 123456789f +1 = 123456792)
我试图更好地理解浮点运算、发生和累积的伴随错误，以及为什么结果会这样。以下是我目前正在处理的 3 个具体示例：
1.) 0.1+0.1 +0.1 +0.1 +0.1 +0.1 +0.1 +0.1 +0.1 +0.1 -1.0 = -1.1102230246251565E-16 又名添加 0.1 10 次给我的数字略小于 1.0。但是，0.1 表示（作为双精度数）略大于 0.1。另外*0.1*3*略大于0.3，但*0.1*8*略小于0.8
2.) 123456789f+1 = 123456792 和 123456789f +4 = 123456800.
这些结果是怎么回事？这一切对我来说还是有点神秘。
典型的现代处理器和编程语言使用 IEEE-754 算法（或多或少），float 为 32 位二进制浮点数，double 为 64 位二进制浮点数。在 double 中，使用了 53 位有效数字。这意味着，当一个十进制数字被转换为double时，它被转换为一些数字s•f•2e，其中s为符号（+1或-1），f是一个无符号整数，可以用53位表示，e是-1074和971之间的整数，包括端值。 （或者，如果被转换的数字太大，结果可能是 +infinity 或 -infinity。）（了解浮点格式的人可能会抱怨指数在 −1023 和 1023 之间，但我已经将有效数字使其成为整数。我描述的是数学值，而不是编码。）
将 .1 转换为 double 得到 3602879701896397 / 36028797018963968，因为在所需形式的所有数字中，那个数字最接近 .1。分母为2−55，所以e为−55.
当我们将其中两个相加时，我们得到 7205759403792794 / 36028797018963968。没关系，分子仍然小于 253，因此符合格式。
当我们加上第三个 3602879701896397 / 36028797018963968 时，数学结果是 10808639105689191 / 36028797018963968。不幸的是，分子太大了；它大于 253 (9007199254740992)。所以浮点硬件不能 return 这个数字。它必须以某种方式使其适合。
如果我们将分子和分母除以二，我们有 5404319552844595.5 / 18014398509481984。这具有相同的值，但分子不是整数。为了使其适合，硬件将其四舍五入为整数。当小数正好是 1/2 时，规则是四舍五入使结果均匀，所以硬件 returns 5404319552844596 / 18014398509481984.
接下来，我们取当前总和，5404319552844596 / 18014398509481984，并再次添加 3602879701896397 / 36028797018963968。这次，和是 7205759403792794.5 / 18014398509481984。在这种情况下，硬件向下舍入，returning 7205759403792794 / 18014398509481984.
Then we add 7205759403792794 / 18014398509481984 and 3602879701896397 / 36028797018963968, and the sum is 9007199254740992.5 / 18014398509481984. Note that the numerator not only has a fraction but is larger than 253.所以我们必须再次减少它，产生 4503599627370496.25 / 9007199254740992。将分子四舍五入为整数产生 4503599627370496 / 9007199254740992.
正好是 1/2。此时，舍入误差恰好抵消了；将 .1 添加五次恰好产生 .5.
When we add 4503599627370496 / 9007199254740992 and 3602879701896397 / 36028797018963968, the result is exactly 5404319552844595.25 / 9007199254740992. The hardware rounds down and returns 5404319552844595 / 9007199254740992.
现在你可以看到我们要反复向下舍入。要将 3602879701896397 / 36028797018963968 添加到累加和中，硬件必须将其分子除以四以使其匹配。这意味着小数部分始终为 0.25，并且会向下舍入。因此，接下来的四项总和也向下舍入。我们最终得到 9007199254740991 / 9007199254740992，刚好小于 1.
使用 float 而不是 double，分子必须适合 24 位，因此它必须小于 224 (16777216) .所以 123456789 甚至在任何算术完成之前就太大了。它必须表示为15432099•23，即123456792。加1的精确数学结果为15432099.125•23，并四舍五入整数的有效数为 15432099 • 23，因此没有变化。但是，如果您将四相加，则结果为 15432099.5 • 23，四舍五入为 15432100 • 23.
我试图更好地理解浮点运算、发生和累积的伴随错误，以及为什么结果会这样。以下是我目前正在处理的 3 个具体示例：
1.) 0.1+0.1 +0.1 +0.1 +0.1 +0.1 +0.1 +0.1 +0.1 +0.1 -1.0 = -1.1102230246251565E-16 又名添加 0.1 10 次给我的数字略小于 1.0。但是，0.1 表示（作为双精度数）略大于 0.1。另外*0.1*3*略大于0.3，但*0.1*8*略小于0.8
2.) 123456789f+1 = 123456792 和 123456789f +4 = 123456800.
这些结果是怎么回事？这一切对我来说还是有点神秘。
典型的现代处理器和编程语言使用 IEEE-754 算法（或多或少），float 为 32 位二进制浮点数，double 为 64 位二进制浮点数。在 double 中，使用了 53 位有效数字。这意味着，当一个十进制数字被转换为double时，它被转换为一些数字s•f•2e，其中s为符号（+1或-1），f是一个无符号整数，可以用53位表示，e是-1074和971之间的整数，包括端值。 （或者，如果被转换的数字太大，结果可能是 +infinity 或 -infinity。）（了解浮点格式的人可能会抱怨指数在 −1023 和 1023 之间，但我已经将有效数字使其成为整数。我描述的是数学值，而不是编码。）
将 .1 转换为 double 得到 3602879701896397 / 36028797018963968，因为在所需形式的所有数字中，那个数字最接近 .1。分母为2−55，所以e为−55.
当我们将其中两个相加时，我们得到 7205759403792794 / 36028797018963968。没关系，分子仍然小于 253，因此符合格式。
当我们加上第三个 3602879701896397 / 36028797018963968 时，数学结果是 10808639105689191 / 36028797018963968。不幸的是，分子太大了；它大于 253 (9007199254740992)。所以浮点硬件不能 return 这个数字。它必须以某种方式使其适合。
如果我们将分子和分母除以二，我们有 5404319552844595.5 / 18014398509481984。这具有相同的值，但分子不是整数。为了使其适合，硬件将其四舍五入为整数。当小数正好是 1/2 时，规则是四舍五入使结果均匀，所以硬件 returns 5404319552844596 / 18014398509481984.
接下来，我们取当前总和，5404319552844596 / 18014398509481984，并再次添加 3602879701896397 / 36028797018963968。这次，和是 7205759403792794.5 / 18014398509481984。在这种情况下，硬件向下舍入，returning 7205759403792794 / 18014398509481984.
Then we add 7205759403792794 / 18014398509481984 and 3602879701896397 / 36028797018963968, and the sum is 9007199254740992.5 / 18014398509481984. Note that the numerator not only has a fraction but is larger than 253.所以我们必须再次减少它，产生 4503599627370496.25 / 9007199254740992。将分子四舍五入为整数产生 4503599627370496 / 9007199254740992.
正好是 1/2。此时，舍入误差恰好抵消了；将 .1 添加五次恰好产生 .5.
When we add 4503599627370496 / 9007199254740992 and 3602879701896397 / 36028797018963968, the result is exactly 5404319552844595.25 / 9007199254740992. The hardware rounds down and returns 5404319552844595 / 9007199254740992.
现在你可以看到我们要反复向下舍入。要将 3602879701896397 / 36028797018963968 添加到累加和中，硬件必须将其分子除以四以使其匹配。这意味着小数部分始终为 0.25，并且会向下舍入。因此，接下来的四项总和也向下舍入。我们最终得到 9007199254740991 / 9007199254740992，刚好小于 1.
使用 float 而不是 double，分子必须适合 24 位，因此它必须小于 224 (16777216) .所以 123456789 甚至在任何算术完成之前就太大了。它必须表示为15432099•23，即123456792。加1的精确数学结果为15432099.125•23，并四舍五入整数的有效数为 15432099 • 23，因此没有变化。但是，如果您将四相加，则结果为 15432099.5 • 23，四舍五入为 15432100 • 23.