Hask甚至是一个类别吗？
Is Hask even a category?
https://wiki.haskell.org/Hask:
Consider:
undef1 = undefined :: a -> b
undef2 = \_ -> undefined
Note that these are not the same value:
seq undef1 () = undefined
seq undef2 () = ()
This might be a problem, because undef1 . id = undef2. In order to make Hask a category, we define two functions f and g as the same morphism if f x = g x for all x. Thus undef1 and undef2 are different values, but the same morphism in Hask.
这是什么意思或我如何检查：
undef1和undef2是不同的值，但是同一个态射？
在 Haskell 中，我们认为每个表达式都可以计算为特定的 "value"，我们可能有兴趣确定两个表达式是否具有 "same" 值。
非正式地，我们知道可以直接比较某些值（例如 Integer 类型的值 2 和 3）。其他值，如 sqrt 和 id 类型 Double -> Double 可以进行比较，正如@pigworker 指出的那样，通过构造一个表达式 "witnesses" 直接比较值的差异：
sqrt 4 = 2
id 4 = 4
这里，我们可以得出结论，sqrt和id是不同的值。如果没有这样的见证人，那么价值是一样的。
如果我们查看 undef1 和 undef2 到 () -> () 类型的单态特化：
undef1, undef2 :: () -> ()
undef1 = undefined
undef2 = \_ -> undefined
我们如何判断这些值是否不同？
好吧，我们需要找到一个可以证明差异的表达式，上面已经给出了一个。两个表达式：
> seq undef1 ()
*** Exception: Prelude.undefined
> seq undef2 ()
()
>
根据 GHCi，具有不同的值。我们也可以直接展示这一点，使用我们对 Haskell 语义的理解：
seq undef1 ()
-- use defn of undef1
= seq undefined ()
-- seq semantics: WHNF of undefined is _|_, so value is _|_
= _|_
seq undef2 ()
-- use defn of undef2
= seq (\_ -> undefined) ()
-- seq semantics: (\_ -> undefined) is already in WHNF and is not _|_,
-- so value is second arg ()
= ()
所以，问题是什么？好吧，当将 Hask 视为一个 类别 时，对象是类型而态射是（单态）函数，我们隐含地需要一个概念 identity/equality 用于对象和态射。
对象 identity/equality 很简单：两个对象（单态 Haskell 类型）当且仅当它们是同一类型时才相等。态射 identity/equality 更难。因为 Hask 中的态射是 Haskell 值（单态函数类型），所以很容易将态射相等定义为与值相等相同，如上所述。
如果我们使用这个定义，那么undef1和undef2将是不同的态射，因为我们已经证明它们是不同的Haskell以上值。
但是，如果我们比较 undef1 . id 和 undef2，我们会发现它们具有 相同的 值。也就是说，没有任何表情可以看出它们之间的区别。证明这有点困难，但请参阅下文。
无论如何，我们现在的 Hask 范畴理论存在矛盾。因为 id 是 Hask 中的（多态族）恒等态射，我们必须有：
undef1
= undef1 . id -- because `id` is identity
= undef2 -- same value
所以我们同时有 undef1 /= undef2 因为上面的见证，但是 undef1 = undef2 由前面的论点。
避免这种矛盾的唯一方法是放弃将 Hask 中的态射相等定义为基础 Haskell 值相等的想法。
已提供的 Hask 中态射相等的另一个替代定义是两个态射 f 和 g 相等的较弱定义，如果和仅当它们满足所有值 x（包括 _|_）的 f x = g x 时。请注意，这里仍然存在歧义。如果 f x 和 g x 是 它们自己 Haskell 函数等态射，f x = g x 是否意味着 态射相等 f x 和 g x 或 Haskell 值 f x 和 g x 相等？让我们暂时忽略这个问题。
根据这个替代定义，undef1 和 undef2 是 等同的态射，因为我们可以显示 undef1 x = undef2 x 所有可能的值 x 类型 ()（即 () 和 _|_）。也就是说，应用于 ()，他们给出：
undef1 ()
-- defn of undef1
= undefined ()
-- application of an undefined function
= _|_
undef2 ()
-- defn of undef2
= (\_ -> undefined) ()
-- application of a lambda
= undefined
-- semantics of undefined
= _|_
并应用于 _|_ 他们给出：
undef1 _|_
-- defn of undef1
= undefined _|_
-- application of an undefined function
= _|_
undef2 _|_
-- defn of undef2
= (\_ -> undefined) _|_
-- application of a lambda
= undefined
-- semantics of undefined
= _|_
类似地，undef1 . id 和 undef2 可以证明在 Hask 中作为态射是等同的（事实上，它们等同于 Haskell 值暗示它们根据 Hask 态射的较弱的相等性定义是相等的），所以没有矛盾。
但是，如果您遵循@n.m.提供的link，您会发现在形式化Haskell值相等的含义方面还有更多工作要做并精确地给出 Hask 态射相等性的适当定义，然后我们才能真正放心地相信 是 无矛盾 Hask 类别。
证明 undef1 . id = undef2 作为 Haskell 值
由于上述原因，这个证明必然有点不正式，但这是我的想法。
如果我们试图见证函数 f 和 g 之间的差异，见证表达式可以 使用 这些值的唯一方法是应用它们的值 x 或使用 seq 将它们评估为 WHNF。如果已知 f 和 g 等于 Hask 态射，那么我们已经对所有 x 有了 f x = g x，所以没有表达可以见证基于应用的差异。唯一剩下要检查的是，当它们被评估为 WHNF 时，它们要么都已定义（在这种情况下，根据先前的假设，它们在应用时将产生相同的值），要么它们都未定义。
因此，对于 undef1 . id 和 undef2，我们只需要确保在对 WHNF 求值时它们都已定义或都未定义。很容易看出它们实际上都定义了 WHNFs:
undef1 . id
-- defn of composition
= \x -> undef1 (id x)
-- this is a lambda, so it is in WHNF and is defined
undef2
-- defn of undef2
= \_ -> undefined
-- this is a lambda, so it is in WHNF and is defined
我们已经在上面为所有 x 建立了 undef1 x = undef2 x。从技术上讲，我们应该证明：
(undef1 . id) x
-- defn of composition
= (\x -> undef1 (id x)) x
-- lambda application
= undef1 (id x)
-- defn of id
= undef1 x
与所有 x 的 Haskell 值相等，这为所有 x 确定了 (undef1 . id) x = undef2 x。再加上两者都在上面定义了 WHNF，这足以表明 undef1 . id = undef2 与 Haskell 值相等。
https://wiki.haskell.org/Hask:
Consider:
undef1 = undefined :: a -> b undef2 = \_ -> undefinedNote that these are not the same value:
seq undef1 () = undefined seq undef2 () = ()This might be a problem, because
undef1 . id = undef2. In order to make Hask a category, we define two functionsfandgas the same morphism iff x = g xfor allx. Thusundef1andundef2are different values, but the same morphism in Hask.
这是什么意思或我如何检查：
undef1和undef2是不同的值，但是同一个态射？
在 Haskell 中，我们认为每个表达式都可以计算为特定的 "value"，我们可能有兴趣确定两个表达式是否具有 "same" 值。
非正式地，我们知道可以直接比较某些值（例如 Integer 类型的值 2 和 3）。其他值，如 sqrt 和 id 类型 Double -> Double 可以进行比较，正如@pigworker 指出的那样，通过构造一个表达式 "witnesses" 直接比较值的差异：
sqrt 4 = 2
id 4 = 4
这里，我们可以得出结论，sqrt和id是不同的值。如果没有这样的见证人，那么价值是一样的。
如果我们查看 undef1 和 undef2 到 () -> () 类型的单态特化：
undef1, undef2 :: () -> ()
undef1 = undefined
undef2 = \_ -> undefined
我们如何判断这些值是否不同？
好吧，我们需要找到一个可以证明差异的表达式，上面已经给出了一个。两个表达式：
> seq undef1 ()
*** Exception: Prelude.undefined
> seq undef2 ()
()
>
根据 GHCi，具有不同的值。我们也可以直接展示这一点，使用我们对 Haskell 语义的理解：
seq undef1 ()
-- use defn of undef1
= seq undefined ()
-- seq semantics: WHNF of undefined is _|_, so value is _|_
= _|_
seq undef2 ()
-- use defn of undef2
= seq (\_ -> undefined) ()
-- seq semantics: (\_ -> undefined) is already in WHNF and is not _|_,
-- so value is second arg ()
= ()
所以，问题是什么？好吧，当将 Hask 视为一个 类别 时，对象是类型而态射是（单态）函数，我们隐含地需要一个概念 identity/equality 用于对象和态射。
对象 identity/equality 很简单：两个对象（单态 Haskell 类型）当且仅当它们是同一类型时才相等。态射 identity/equality 更难。因为 Hask 中的态射是 Haskell 值（单态函数类型），所以很容易将态射相等定义为与值相等相同，如上所述。
如果我们使用这个定义，那么undef1和undef2将是不同的态射，因为我们已经证明它们是不同的Haskell以上值。
但是，如果我们比较 undef1 . id 和 undef2，我们会发现它们具有 相同的 值。也就是说，没有任何表情可以看出它们之间的区别。证明这有点困难，但请参阅下文。
无论如何，我们现在的 Hask 范畴理论存在矛盾。因为 id 是 Hask 中的（多态族）恒等态射，我们必须有：
undef1
= undef1 . id -- because `id` is identity
= undef2 -- same value
所以我们同时有 undef1 /= undef2 因为上面的见证，但是 undef1 = undef2 由前面的论点。
避免这种矛盾的唯一方法是放弃将 Hask 中的态射相等定义为基础 Haskell 值相等的想法。
已提供的 Hask 中态射相等的另一个替代定义是两个态射 f 和 g 相等的较弱定义，如果和仅当它们满足所有值 x（包括 _|_）的 f x = g x 时。请注意，这里仍然存在歧义。如果 f x 和 g x 是 它们自己 Haskell 函数等态射，f x = g x 是否意味着 态射相等 f x 和 g x 或 Haskell 值 f x 和 g x 相等？让我们暂时忽略这个问题。
根据这个替代定义，undef1 和 undef2 是 等同的态射，因为我们可以显示 undef1 x = undef2 x 所有可能的值 x 类型 ()（即 () 和 _|_）。也就是说，应用于 ()，他们给出：
undef1 ()
-- defn of undef1
= undefined ()
-- application of an undefined function
= _|_
undef2 ()
-- defn of undef2
= (\_ -> undefined) ()
-- application of a lambda
= undefined
-- semantics of undefined
= _|_
并应用于 _|_ 他们给出：
undef1 _|_
-- defn of undef1
= undefined _|_
-- application of an undefined function
= _|_
undef2 _|_
-- defn of undef2
= (\_ -> undefined) _|_
-- application of a lambda
= undefined
-- semantics of undefined
= _|_
类似地，undef1 . id 和 undef2 可以证明在 Hask 中作为态射是等同的（事实上，它们等同于 Haskell 值暗示它们根据 Hask 态射的较弱的相等性定义是相等的），所以没有矛盾。
但是，如果您遵循@n.m.提供的link，您会发现在形式化Haskell值相等的含义方面还有更多工作要做并精确地给出 Hask 态射相等性的适当定义，然后我们才能真正放心地相信 是 无矛盾 Hask 类别。
证明 undef1 . id = undef2 作为 Haskell 值
由于上述原因，这个证明必然有点不正式，但这是我的想法。
如果我们试图见证函数 f 和 g 之间的差异，见证表达式可以 使用 这些值的唯一方法是应用它们的值 x 或使用 seq 将它们评估为 WHNF。如果已知 f 和 g 等于 Hask 态射，那么我们已经对所有 x 有了 f x = g x，所以没有表达可以见证基于应用的差异。唯一剩下要检查的是，当它们被评估为 WHNF 时，它们要么都已定义（在这种情况下，根据先前的假设，它们在应用时将产生相同的值），要么它们都未定义。
因此，对于 undef1 . id 和 undef2，我们只需要确保在对 WHNF 求值时它们都已定义或都未定义。很容易看出它们实际上都定义了 WHNFs:
undef1 . id
-- defn of composition
= \x -> undef1 (id x)
-- this is a lambda, so it is in WHNF and is defined
undef2
-- defn of undef2
= \_ -> undefined
-- this is a lambda, so it is in WHNF and is defined
我们已经在上面为所有 x 建立了 undef1 x = undef2 x。从技术上讲，我们应该证明：
(undef1 . id) x
-- defn of composition
= (\x -> undef1 (id x)) x
-- lambda application
= undef1 (id x)
-- defn of id
= undef1 x
与所有 x 的 Haskell 值相等，这为所有 x 确定了 (undef1 . id) x = undef2 x。再加上两者都在上面定义了 WHNF，这足以表明 undef1 . id = undef2 与 Haskell 值相等。