转换后恢复角度

Question

这似乎是一项很简单的任务，但我未能找到解决方案，而且我运行没有想法。

我有两个角度用来定义一些变换系数。现在，我的真实数据中实际上没有这些角度的值，我有系数，我需要恢复角度。

我认为 arctan2 函数会解决这个问题，但有些情况下它无法恢复正确的 a1 角度，而是 returns 它的 180补充，后来影响 a2 角度的恢复。

我哪里做错了，我怎样才能正确恢复 a1, a2 角度？

import numpy as np

# Repeat 100 times
for _ in range(100):
    # Define two random angles in the range [-pi, pi]. I do not have these
    # angles in my actual data, I have the A,B,C coefficients shown below.
    a1, a2 = np.random.uniform(-180., 180., (2,))

    # Transformation coefficients using the above angles.
    # This is the data I actually have.
    a1_rad, a2_rad = np.deg2rad(a1), np.deg2rad(a2)  # to radians
    A = - np.sin(a1_rad) * np.sin(a2_rad)
    B = np.cos(a1_rad) * np.sin(a2_rad)
    C = np.cos(a2_rad)

    # Recover a1 using 'arctan2' (returns angle in the range [-pi, pi])
    a1_recover = np.arctan2(-A / B, 1.)

    # Now obtain sin(a2), used below to obtain 'a2'
    sin_a2 = -A / np.sin(a1_recover)

    # Recover a2 using 'arctan2', where: C = cos(a2)
    a2_recover = np.arctan2(sin_a2, C)

    # Print differences.
    a1_recover = np.rad2deg(a1_recover)
    print("a1: {:.2f} = {} - {}".format(a1 - a1_recover, a1, a1_recover))
    a2_recover = np.rad2deg(a2_recover)
    print("a2: {:.2f} = {} - {}\n".format(a2 - a2_recover, a2, a2_recover))

Answer 1

您无法恢复角标信息，因为它在A,B计算（编队）中丢失了。

sin/cos 符号的 8 种可能组合仅给出 A/B 符号的 4 个结果（cos(a2) 符号在这里无济于事）。

请注意，球坐标的倾角范围仅为0..Pi

Answer 2

当a2_rad等于0时，无论a1_rad等于什么，(A, B, C)都等于(0, 0, 1)。所以转换不是一对一的。因此没有明确定义的逆。

def ABC(a1, a2):
    a1_rad, a2_rad = np.deg2rad(a1), np.deg2rad(a2)  # to radians
    A = - np.sin(a1_rad) * np.sin(a2_rad)
    B = np.cos(a1_rad) * np.sin(a2_rad)
    C = np.cos(a2_rad)
    return A, B, C

print(ABC(0, 0))
# (-0.0, 0.0, 1.0)
print(90, 0)
# (-0.0, 0.0, 1.0)
print(-90, 0)
# (-0.0, 0.0, 1.0)

对面（南）极也有类似的问题。在浮点精度的限制内，所有这些值（形式为 ABC(a1, 180)）也基本相等：

ABC(1, 180)
# (-2.1373033680837913e-18, 1.2244602795081332e-16, -1.0)

ABC(0, 180)
# (-0.0, 1.2246467991473532e-16, -1.0)

ABC(90, 180)
# (-1.2246467991473532e-16, 7.498798913309288e-33, -1.0)

您可以将 a1、a2 视为单位球体上的坐标，其中 a1 表示远离 x 轴的角度（通常称为 theta）和 a2 表示远离z轴的角度（通常称为phi）。

A,B,C表示笛卡尔坐标系中单位球面上的同一点

通常 spherical coordinates 将 a1 限制在 [0, 2*pi) 范围内，将 a2 限制在 [0, pi] 范围内。即使有这个限制，北极和南极也有不止一个（实际上是无限多个）有效表示。

Answer 3

您应该使用 np.arctan2(-A , B) 而不是 np.arctan2(-A / B, 1.)。对于后者，您正在丢失信息：A = -1 和 B = 1 将给出与 A - 1 和 B = -1 相同的结果，因此有时会出现 180 不匹配。如果将 a2 限制在 (0,180) 内，则可以恢复角度。请注意，通过此限制，a2 可以恢复为 acos(C)。（我已经试过了，但因为我的程序是用 C 语言编写的，所以它可能没有帮助）

转换后恢复角度

Recover angles after transformation

python

math

trigonometry

numpy