给定一个圆上的点，找到可以用一条穿过圆心的线分隔的最少点数

Question

假设给定一个度向量，表示单位圆上的点。您如何正式检查在一个具有直径的半圆中可以隔离的最少点数？我知道对于给定的一组数据点，可能有多个直径满足此属性。没关系。我只对可以隔离的最小点数感兴趣，而不是特别是直径。它还需要计算效率高，因此它适用于大量点。我根据@d.b的建议写了下面的内容，但是tst4的算法失败了。

在 R 中，

# Plots the points on a circle and attempts to find the minimum m (algorithm incorrect for tst )
min_dia <- function(degs, plot = T){
  library(dplyr)

  plot_circle <- function(x, y, r) {
    angles <- seq(0, 2*pi,length.out = 360)
    lines(r*cos(angles) + x, r*sin(angles) + y)
  }

  deg <- degs
  plot_boo <- plot

 # @d.b suggestion method for finding m
  temp <- abs((deg - min(deg) + 180) %% 360 - 180)
  m <- min(table(cut(temp, breaks = c(-180, 90, 180))))

  if(plot_boo == T){
    tm_deg <- c(0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315, 330)
    tm_rad <- (tm_deg * pi) / 180
    th <- (deg*pi)/180
    r <- 1
    x <- r*cos(th)
    y <- r*sin(th)
    windows.options(width = 600, height = 600)
    plot(x, y, xlim = c(-1.1, 1.1), ylim = c(-1.1, 1.1), pch = 20, xlab = "", ylab = "", main = "Plot of Given Data Points by Degrees")
    plot_circle(0, 0, 1)
    points(0, 0)
    text(r*cos(tm_rad), r*sin(tm_rad), labels = paste0(tm_deg), cex= 0.5, pos = 3)
  }

  return(m)
}

# Function to plot diameter by degrees
plot_dia <- function(deg){
  deg1 <- deg
  deg2 <- deg + 180
  th1 <- (deg1*pi)/180
  th2 <- (deg2*pi)/180
  x1 <- cos(th1)
  y1 <- sin(th1)
  x2 <- cos(th2)
  y2 <- sin(th2)
  lines(c(x1, x2), c(y1, y2))
}

# Testing
tst1 <- c(15, 45, 20) # m = 0
tst2 <- c(15, 45, 200) # m = 1
tst3 <- c(15, 46, 114, 137, 165, 187, 195, 215, 271, 328) # m = 3
tst4 <- c(36, 304, 281, 254, 177, 59, 47, 158, 244, 149, 317, 235, 345, 209, 204,
          156, 325, 95, 215, 267)

# Implementation
min_dia(tst1)
plot_dia(90) # eyeball and plot to check

min_dia(tst2)
plot_dia(190) # eyeball and plot to check

min_dia(tst3)
plot_dia(110) # eyeball and plot to check

min_dia(tst4)
plot_dia(150) # m is probably 2

对于我在代码中提供的 15、45 和 225 度的三个点，我可以用一条线分隔的最小点数（例如 m）为 1。

对于度数为 15、20、25 的点，答案显然是 0。

任何有关解决此最小化问题的有效算法的帮助或指导将不胜感激。

更新：

如果您要运行通过 R 代码，这里是图表以及一条线的示例，该线说明了您可以分离的最小点数，即 1。

更新：

我还更新了上面的代码，它允许绘制数据点，推测最小化 m 的直径，并按度数绘制直径。

Answer 1

这是一个暴力破解的方法。只需在所有角度 (0.5:359.5) 画一条线，看看哪个角度给出的值最小。

bar = function(degs){
    CUTS = sapply(0:359 + 0.5, function(D){
        temp = ((degs - D + 180) %% 360 - 180)
        min(table(cut(temp, breaks = c(-180, 0, 180))))
    })

    D = (0:359 + 0.5)[which.min(CUTS)]
    m = min(CUTS)

    plot(0, 0, type = "n",
    xlim = c(-1.5, 1.5), ylim = c(-1.5, 1.5),
    ann = FALSE, axes = FALSE, asp = 1)
    plotrix::draw.circle(0, 0, 1)

    degs = degs * pi/180
    xs = cos(degs)
    ys = sin(degs)

    x1 = cos(D * pi/180)
    y1 = sin(D * pi/180)

    x2 = cos((D * pi/180) + pi)
    y2 = sin((D * pi/180) + pi)

    lines(c(x1, x2), c(y1, y2))
    points(xs, ys, pch = 19)
    points(0, 0)
    return(c(min_num = m, angle = D))
}

tst4 <- c(36, 304, 281, 254, 177, 59, 47, 158, 244, 149, 317, 235,
             345, 209, 204, 156, 325, 95, 215, 267)

bar(degs = tst4)
# min_num   angle 
#     5.0   145.5

Answer 2

如果点未排序，则按角度排序。

使用两点法遍历列表。如果角度差为 <180，则递增右侧索引；如果角度差为 >180，则递增左侧索引。 (right-left, length-right+left) 中的最小值是您想要的值。

请注意，扫描应以循环方式执行（您可以像这样添加带有 +360 的列表副本15, 45, 225, 375, 585）

给定一个圆上的点，找到可以用一条穿过圆心的线分隔的最少点数

Given points on a circle, find the minimum number of points which can be separated with a line through the center

math

geometry

r

computational-geometry

graph-algorithm