Python numpy.convolve 积分限制

Question

我有一个卷积积分，其形式与 post 中描述的类似：(link)

我需要从负无穷到 t 积分，而不是从 0 到 t 积分。但是，我无法使用 numpy.convolve 做到这一点，因为它总是 return 从负无穷大到正无穷大的结果。使用 scipy.integrate.quad 会非常慢，因为我必须遍历每个 t，并且它仅适用于具有解析表达式的被积函数。

有没有办法指定numpy.convolve的下限和上限？非常感谢。

这是代码（很抱歉无法在此处输入 LaTeX 方程式）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import integrate

def gaussian(tau, mu, sigma):

    pdf = 1/(sigma * np.sqrt(2 * np.pi)) * np.exp( - (tau - mu)**2 / (2 * sigma**2))
    return pdf

def gaussian_deriv(tau, mu, sigma):
    """
    derivative of gaussian function
    """
    pdf = -(tau - mu)/sigma**2 * gaussian(tau, mu, sigma)
    return pdf

def integral_kernel(tau):
    return np.cbrt(1/tau)

def integrand(tau, t, mu, sigma):

    return gaussian_deriv(tau, mu, sigma) * integral_kernel(t - tau + 1E-28)

tau = np.linspace(-7, 7, 1000)
dtau = tau[1] - tau[0]
lower_lim = tau[0]
g_deriv = gaussian_deriv(tau, mu=0, sigma=1)

result = np.zeros_like(tau)
for idx, t in np.ndenumerate(tau):
    result[idx], err = integrate.quad(integrand, lower_lim, t, args=(t, mu, sigma), points=[t])

result_convolve = np.convolve(g_deriv, integral_kernel(tau), mode='same') * dtau

fig, ax = plt.subplots(2,1, figsize=(10, 6))
ax[0].plot(tau, result, 'r-', label='scipy quad')
ax[1].plot(tau, result_convolve, '.', label='numpy convolve')
ax[0].legend()
ax[1].legend()
plt.show()

Answer 1

如果我没理解错你想要积分

int{-inf...T} f(tau) g(t-tau) dtau

写H(t) = 1/2 (sign(t) + 1) 这和

是一样的

int{-inf...inf} f(tau) g(t-tau) [1 - H(tau-T)] dtau

或

int{-inf...inf} f^(tau) g(t-tau) dtau = f^*g(t)

f^(tau) = f(tau) * [1 - H(tau-T)].

所以你需要做的就是将T右边的f归零得到f^，然后计算常规卷积f^*g。

更新

如果t和T是同一个数字就更简单了：

int{-inf...t} f(tau)g(t-tau) dtau

在这种情况下，你可以将积分变量移动 t，所以你得到：

int{-inf...0} f(tau+t}g(-tau) dtau

接下来用 -tau 替换 tau

int{0...inf} g(tau) f(t-tau) dtau

现在你或多或少地像上面那样进行，只有 T 现在是固定的并且等于零，你不会在 T 的右边但在 T 的左边归零。

Answer 2

同样，这是一个相当古老的post，我仍然在这里展示我的分析。

请参阅 this post 我已经回答了 OP 引用的问题。有必要通过此 post 了解此处使用的符号和符号。

np.convolve(A, B)给你的是

$c_{j+m} \equiv C[j] = \sum_{i = -\infty}^{+\infty} A[i] B[j - i + m]$

你要找的是

$c^{my}_{j+m} = \sum_{i = -\infty}^{j+m} A[i] B[j - i + m] = c_{j+m} - \sum_{i = j+m+1}^{+\infty} A[i] B[j - i + m]$

此处第二项将为零，因为 B 将负系数外推为零。所以你看你不需要做任何事

$c^{my}_{j+m} = c_{j+m}$ .

Python numpy.convolve 积分限制

Python numpy.convolve integral limits

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