函数 "triplequad" 没有 return 正确的音量 (Octave/Matlab)

Question

我正在尝试使用 Octave 获取配置文件下的音量。我为此建立了一个简单的模型：

function F1 = f_x(x)
  F1 = x-1;
endfunction

function F2 = f_y(y)
  F2 = y;
endfunction

function F3 = f_z(z)
  F3 = z;
endfunction

f_xyz = inline('f_x(x).*f_y(y).*f_z(z);', 'x', 'y', 'z');
Volume = triplequad(f_xyz,0,3,0,3,0,4)

x = 1:1:2;
y = 1:1:2;
z = 1:1:2;

f_plot=f_x(x).*f_y(y).*f_z(z)';

%Lines for plotting the 3D plot    
tx = linspace (0, 3, numel(x))';
ty = linspace (0, 3, numel(y))';
[xx, yy] = meshgrid (tx, ty);
tz = f_plot;
mesh (tx, ty, tz);

给出的图如下图所示：我正在使用 triplequad 函数（它也适用于 Matlab）来获取该配置文件下的音量，但它看起来并不适用。函数 return 体积为 54 个单位，这不是真的。使用完整尺寸计算平行六面体的体积得到 36 个单位 (3 x 3 x 4)，这证明它计算错误。问题是......我在这里做错了什么？为什么 "triplequad" 没有给出正确的音量？

Answer 1

我认为您可能误解了问题的维度。您正在处理 4D 函数：

f = @(x, y, z) (x-1).*y.*z;

您有一个由 f 返回的值（即因变量），该值由一组 3 个自变量确定，因此是一个 4D 函数。您必须根据 hypervolume instead of volume in this case, since volume is a 3D measurement. The triplequad 函数来计算 f 在自变量的一组给定范围内的三重积分，从而为您提供超体积：

>> triplequad(f, 0, 3, 0, 3, 0, 4)  % Integrate over 0 <= x <= 3, 0 <= y <= 3, 0 <= z <= 4

ans =

  53.999999999999986  % Just shy of 54

您的 3D 表面可视化没有任何意义，并且让您误入歧途，认为结果是错误的。

注意 1： 在 MATLAB 中，函数 triplequad appears slated for deprecation in a future release, so you should use integral3 代替。它似乎也能提供更准确的结果：

>> integral3(f, 0, 3, 0, 3, 0, 4)

ans =

    54

注意 2： 关于您的评论，函数 f(x,y,z) = 1 是常量，不依赖于 x、y 或 z.此函数的三重积分相当于计算积分区域的体积 (3*3*4 = 36) 乘以常数函数值（在本例中仅为 1）。您可以这样确认：

>> f = @(x, y, z) ones(size(x));
>> triplequad(f, 0, 3, 0, 3, 0, 4)

ans =

    36

编辑： 关于你的 follow-up 问题，我在尝试运行 R2016b 中的那个例子时实际上遇到了错误，所以我不确定你是如何得到它的工作（尽管结果值是正确的）：

>> V = triplequad(h_xxyy,0,3,0,3,0,15)
Error using inline/subsref (line 14)
Too many inputs to inline function.

问题是 triplequad 用于对 3 个变量的函数执行三重积分，但您的函数只有 2 个输入（x 和y)。在计算 2 个变量的函数下的体积时，您只需要对这 2 个变量进行积分，因此您应该在 Octave 中使用 MATLAB 函数 integral2 instead (or dblquad):

>> f = @(x, y) x.^2.*sqrt(y);
>> V = integral2(f, 0, 3, 0, 3)

V =

  31.176914536244894

请注意 f 没有 z 相关性，因此 f(x, y) 相对于 z 是常数（即对于给定的 x 和 y，无论 z)，它总是 returns 相同的值。因此，如果您要在 z 维度上执行第三次积分，它将与将结果乘以积分范围相同：

>> V*15

ans =

  467.6537  % Same result you got from triplequad

函数 "triplequad" 没有 return 正确的音量 (Octave/Matlab)

The function "triplequad" doesn't return the right volume (Octave/Matlab)

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octave