具有 V 个顶点的连通图中存在多少个路径？
How many tours exist in a connected graph with V vertices?
假设每个顶点都有一条到其他所有顶点的边，此图中存在多少条路径，您必须从顶点 v 开始并在 v 处结束？
我假设您希望您的游览简单 - 否则答案将是 "infinitely many"。
现在，您的游览可以分为三种：
- 首先，只包含v的游览
- 其次，包含 v 的任何长度为 2 的循环，即从 v 走到任何顶点 w 并返回。有 n-1 个。
- 第三，任何包含长度为 3 或更大的 v 的循环。所有这些都具有 "v -> a -> … -> b -> v" 的形式，其中 a -> … -> b 可以是从 a 到 b 的任何不包含 v 的简单路径。有多少条从 a 开始的长度为 k 的简单路径？那么，对于第一个顶点，您可以从 a 走到任何 (n-2) 个其他顶点。对于第二个顶点，您可以从 (n-3) 个顶点中进行选择，依此类推。因此，有 (n-2) * (n-3) * … (n - k - 1) 条长度为 k 的简单路径，它们从 a 开始并且不包括 v。因为 k 可以是 1 和 n- 之间的任何值2，每个顶点 a 有
条路径 - a 有 n-1 个选择。
总而言之，您最终得到：
假设每个顶点都有一条到其他所有顶点的边，此图中存在多少条路径，您必须从顶点 v 开始并在 v 处结束？
我假设您希望您的游览简单 - 否则答案将是 "infinitely many"。
现在，您的游览可以分为三种：
- 首先，只包含v的游览
- 其次，包含 v 的任何长度为 2 的循环，即从 v 走到任何顶点 w 并返回。有 n-1 个。
- 第三，任何包含长度为 3 或更大的 v 的循环。所有这些都具有 "v -> a -> … -> b -> v" 的形式，其中 a -> … -> b 可以是从 a 到 b 的任何不包含 v 的简单路径。有多少条从 a 开始的长度为 k 的简单路径？那么，对于第一个顶点，您可以从 a 走到任何 (n-2) 个其他顶点。对于第二个顶点，您可以从 (n-3) 个顶点中进行选择，依此类推。因此，有 (n-2) * (n-3) * … (n - k - 1) 条长度为 k 的简单路径，它们从 a 开始并且不包括 v。因为 k 可以是 1 和 n- 之间的任何值2，每个顶点 a 有
总而言之，您最终得到：